Soy un estudiante universitario de auto-estudio de los inicios de la teoría de la representación mediante Serre Lineal de las Representaciones, y me pregunto si estoy demostrar las siguientes identidades correctamente.
Deje $\chi, \chi'$ ser los personajes de dos de las representaciones de $\rho, \rho'$ $G$ a $\mathrm{GL}(V)$. Deje $\chi_\sigma$ ser el personaje de la simetría del cuadrado, $\mathrm{Sym}^2(V)$$V$, y deje $\chi_\alpha$ ser el personaje de la $\mathrm{Alt}^2$. Demostrar las fórmulas:
\begin{align*} (\chi + \chi')^2_\sigma = \chi_\sigma^2 + \chi_\sigma'^2 + \chi \chi' \\ (\chi + \chi')^2_\alpha = \chi_\alpha^2 + \chi_\alpha'^2 + \chi \chi' \\ \end{align*}
Mi Trabajo
Deje $s \in G$. Revisión de una base de vectores propios para cada representación: $(e_i), (e_i')$ respectivamente. Tenemos entonces que el$\rho_se_i = \lambda_ie_i$$\lambda_i \in \Bbb C$. Esto implica $$ \chi(s) = \sum \lambda_i \qquad \qquad \chi(s^2) = \sum \lambda_i^2 $$ Además, tenemos las identidades \begin{align*} \chi_{\sigma}^2(s) &= {1\over 2}(\chi(s)^2 + \chi(s^2)) \\ \chi_\alpha^2(s) &= {1\over 2}(\chi(s)^2 - \chi(s^2)) \end{align*}
El trabajo de la siguiente manera (para la misma plaza de la representación, la alternancia de la plaza se demuestra de manera similar): \begin{align*} (\chi + \chi')_\sigma^2(s) &= {1\over 2}[(\chi + \chi')^2(s) + (\chi + \chi')(s^2)]\\ &= {1\over 2}[(\chi^2 + 2\chi\chi' + \chi'^2)(s) + \chi(s^2) + \chi'(s^2)]\\ &= {1\over 2}[\chi(s)^2 + \chi(s^2)] + {1\over 2}[\chi'(s)^2 + \chi'(s^2)] + \chi\chi'(s) \\ &= \chi_\sigma^2 + \chi_\sigma'^2 + \chi \chi' \end{align*}
Mi Pregunta
Voy sobre este correctamente? En ninguna parte en ello no me refiero a la traza de la representación. Que debe ser incorporado a la corrección de esta prueba?
Gracias por su tiempo.
Ediciones
Iba yo a incoporate el seguimiento inmediatamente después de escribir la forma expandida de la simetría del cuadrado de la suma de $\chi$$\chi'$?
