Deje $R$ ser un conmutativo unitario anillo. La tarea es demostrar la afirmación que dice que para que un elemento $a\in R$ stands: $a$ es un elemento de cada ideal maximal de a $R$ fib $1-ab$ es una unidad para todos los $b \in R$.
Mi esfuerzo
Además supongo que el anillo no es trivial, de lo contrario la situación es clara.
Para una arbitraria $b \in R$ consideramos que la principal ideal $(b)$ y encontrar un ideal maximal $\mathfrak{m}_b\supset (b)$ (de acuerdo con el Lema de Zorn), por lo que tenemos $a\in \mathfrak{m}_b, b \in \mathfrak{m}_b\Rightarrow ab \in \mathfrak{m}_b$. $\mathfrak{m}_b$ es máxima, por lo tanto particularmente prime, por lo $1\notin \mathfrak{m}_b$ y $(1-ab)+\mathfrak{m}_b\neq0+\mathfrak{m}_b\in R/\mathfrak{m}_b$. $R/\mathfrak{m}_b$ es un campo, por lo que nos encontramos con $p \in R : p(1-ab)+\mathfrak{m}_b=1+\mathfrak{m}_b$. Pero al parecer esto no es suficiente para encontrar la inversa de a$1-ab$$R$.
En otra dirección, sólo puedo mostrar que: $1-ab$ es invertible $\Rightarrow ab\neq1\Rightarrow a$ no es una unidad y, por tanto, es un elemento de un ideal maximal. Pero no puedo averiguar cómo mostrar que $a$ está en cada ideal maximal.
Me doy por vencido porque me trató de resolver esta demasiado largo, la declaración parece bastante natural para mí, pero yo no lo veo algo obvio, así que me gustaría que si alguien me da un consejo.
Gracias de antemano!
