Desarrollo en Serie de Taylor de la Relación de las Funciones de Bessel

Question

En el intento de resolver una relación de recursividad he utilizado una generación de la función de método. Esto dio lugar a una ecuación diferencial a la que tengo la solución, y ahora tengo que calcular la serie de Taylor alrededor de $z=0$. La solución consiste en funciones de Bessel de $1/z$, y por lo tanto no estoy seguro de cómo calcular la completa Serie de Taylor (o si es que es posible). La función es

$$f(z) = \frac{z}{2}+\frac{I_{-\frac23}(\frac2{3z}) + I_{\frac43}(\frac2{3z}) }{2 I_{\frac13}(\frac2{3z})}$$

donde $I_{\alpha}(x)$ es función modificada de Bessel de primera especie. He intentado calcular los coeficientes de Taylor numéricamente y parece que no existen (y son más o menos lo que la recursividad relación da).

Es posible calcular la completa serie de Taylor de esta función, y si es así ¿cómo usted va sobre él?

Edit: Mis disculpas, he cometido un error tipográfico en la función! Debe haber un 2 en la función de bessel denominador. (Lo que hay ahora es)

Answer 1

Si
$$ f(z) = 1-{\frac {1}{4}}z{\frac {5}{32}}{z}^{2}-{\frac {15}{64}}{z}^{3}-{ \frac {1105}{2048}}{z}^{4}-{\frac {1695}{1024}}{z}^{5}-{\frac {414125} {65536}}{z}^{6}-{\frac {59025}{2048}}{z}^{7}-\dots $$
como dice Robert, a continuación, $$ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\,f\left(8y\right) =y + 5 y^{2} + 60 y^{3} + 1105 y^{4} + 27120 y^{5} + 828250 y^{6} + 30220800 y^{7} + \dots $$
y estos coeficientes parecen coincidir A062980 ...

Answer 2

Esto no es una solución completa, pero podría ayudar: puede reescribir usando las relaciones de recurrencia

$$I_\nu(z)=\frac z{2\nu}\left(I_{\nu-1}(z)-I_{\nu+1}(z)\right)$$

y

$$I'_\nu(z)=\frac12\left(I_{\nu-1}(z)+I_{\nu+1}(z)\right)\;.$$

Por ejemplo, los rendimientos de este

$$ \begin{eqnarray} f(z) &=& \frac z2+\frac{I'_{\frac13}\left(\frac2{3z}\right)}{I_{\frac13}\left(\frac2{3z}\right)} \\ &=& \frac z2+\left(\log I_{\frac13}\right)'\left(\frac2{3z}\right) \end{eqnarray}$$

y

$$ \begin{eqnarray} f(z) &=& \frac z2+\frac{2I_{-\frac23}\left(\frac2{3z}\right)-zI_{\frac13}\left(\frac2{3z}\right)}{2I_{\frac13}\left(\frac2{3z}\right)} \\ &=& \frac{I_{-\frac23}\left(\frac2{3z}\right)}{I_{\frac13}\left(\frac2{3z}\right)}\;. \end{eqnarray} $$

Answer 3

Arce 15 da

f:= z/2 + (BesselI(-2/3,2/(3*z)) + BesselI(4/3,2/(3*z)))/(2*BesselI(1/3,2/(3*z))); serie(f,z,10);

$$(1-{\frac {1}{4}}z{\frac {5}{32}}{z}^{2}-{\frac {15}{64}}{z}^{3}-{ \frac {1105}{2048}}{z}^{4}-{\frac {1695}{1024}}{z}^{5}-{\frac {414125} {65536}}{z}^{6}-{\frac {59025}{2048}}{z}^{7}-{\frac {1282031525}{ 8388608}}{z}^{8}-{\frac {242183775}{262144}}{z}^{9}+O \left( {z}^{10} \right) ) $$

No sé si hay una forma cerrada para la serie. Pero la continuación de la fracción se ve interesante:

numtheory:-cfrac(f);

$$1-z/(4-5z/(2-7z/(4-11z/(2-13z/(4-17z/(2-19z/(4-23z/(2-25z/(4-29z/(2+\ldots))))))))))$$