Puede Basilea problema a ser resuelto por Leibniz hoy?

Question

Es bien sabido que Leibniz derivados de la serie $$\begin{align} \frac{\pi}{4}&=\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{2i+1},\tag{1} \end{align}$$ pero al parecer él no demostrar que $$\begin{align} \frac{\pi^2}{6}&=\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}.\tag{2} \end{align}$$ Euler hizo, en 1741 (por desgracia, después de la desaparición de Leibniz). Tenga en cuenta que esto también fue antes de que el tiempo de la transformada de Fourier.

Mi pregunta: ¿ahora tenemos las herramientas para probar (2) utilizando únicamente (1) como la definición de $\pi$? Cualquier positiva/negativa de resultados sería muy apreciada. Gracias!

Aclaración: yo no estoy en busca de una completa rigurosa prueba de (1)$\Rightarrow$(2). Una estimación de (2) debe contener, de (1), se puede calificar como una respuesta.

Answer 1

La idea de que Leibniz de la serie $$\frac \pi 4 = \sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{2i + 1} \tag{1}$$ podría ser utilizado para probar de Euler $$\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} \tag{2}$$ parece aún más tentadora cuando se considera que $(2)$ es equivalente a $$\frac{\pi^2}{8} = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)^2} \tag{3}.$$ La equivalencia entre el $(2)$ $(3)$ es claro a partir de $$\frac{3}{4}\zeta(2) = \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2}- \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(2i)^2}= \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)^2}.$$ Compare $(1)$$(3)$! Mi bondad.

Has mirado ya Diferentes métodos para calcular los $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ y http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf ?