La integración de $\frac{\ln x}{(1+\ln x)^2}$

Question

Me encontré con una pregunta de hoy:

$$\int \frac{\ln x \, dx}{(1+\ln x)^2}$$

Cómo hacerlo? Traté de sustituir $1+\ln x$ y también trató de tomar $\ln x$ fuera de los corchetes pero no funciona... incluso traté de usar que la multiplicación de la regla.Que no funciona tampoco. Yo no le veo nada a pasar a través de él...

Answer 1

Deje $u=\ln x$$du=\frac{1}{x}dx$.

Por lo tanto, la integral se transforma a $\displaystyle\int \dfrac{\ln x dx}{(1+\ln x)^2}=\displaystyle \int \frac{e^u u du}{(1+u)^2}.$

Ahora, integrar por partes con $f=e^u u$ $dg=\frac{1}{(1+u)^2}du.$

Answer 2

Sugerencia: Wolfram Alpha resuelve este (en un admittingly engorroso manera) por primera dejando $v=\log x$ y, a continuación, la integración por partes con $u = ve^v$$dg = \frac{dv}{(v+1)^2}$. A continuación, acabo de volver sustituto y tendrás tu respuesta.

Answer 3

Set $t=\ln x$ $dt=\frac{dx}{x}$

$$=\int\frac{e^tt}{(t+1)^2}dt$$

Por partes $f=e^tt$ $dg=\frac{dt}{(1+t)^2}$

$$=-\frac{e^tt}{t+1}+\int e^t dt=\color{red}{\frac{x}{\ln x+1}+\mathcal C}$$

Answer 4

$1+\ln x=u\iff x=e^{u-1},dx=e^{u-1}du$

$$I=\int\dfrac{\ln x}{(1+\ln x)^2}dx=\int\dfrac{u-1}{u^2}e^{u-1}du=\int e^{u-1}\left(\dfrac1u+\dfrac{d(1/u)}{du}\right)du =\dfrac{e^{u-1}}u+K$$

como $\dfrac{e^xf(x)}{dx}=e^x[f(x)+f'(x)]\implies\int e^x[f(x)+f'(x)]dx=e^x f(x)$

$$\implies I=\dfrac x{1+\ln x}+K$$

Alternativamente,

$$\dfrac{\ln x}{(1+\ln x)^2}=\dfrac{1+\ln x-1}{(1+\ln x)^2}$$

$$=\dfrac1{1+\ln x}\cdot\dfrac{dx}{dx}+x\cdot\dfrac{d\{1/(1+\ln x)\}}{dx}$$

¿Qué es $\displaystyle\dfrac{d(uv)}{dx}=?\implies\int(u\dfrac{dv}{dx}+v\dfrac{du}{dx})dx=uv+K$