¿Podemos medir lo cerca que está un haz vectorial de ser trivial?

Question

Para un haz vectorial $E$ denotaré el número máximo de secciones globales linealmente independientes de $E$ por $\eta(E)$ . Tenemos $\eta(E) \in \{0, 1, \dots, \operatorname{rank}(E)\}$ y $\eta(E) = \operatorname{rank}(E)$ sólo si $E$ es trivial, por esta razón, $\eta(E)$ debería ser una medida de lo cerca que está un determinado haz de ser trivial.

Hay muchos ejemplos en los que $\eta(E) = \operatorname{rank}(E)$ por ejemplo $E = T\mathbb{R}^n$ . Por un resultado bastante conocido, $\eta(TS^n) = n$ sólo si $n = 0, 1, 3,$ o $7$ ; más en general, $\eta(TG) = \dim G$ para cualquier grupo de Lie $G$ . Para los demás valores de $n$ podemos decir más gracias al Teorema de la Bola Peluda. A saber, si $n$ es par, $\eta(TS^n) = 0$ y si $n$ es impar, $\eta(TS^n) \geq 1$ .

Es $\eta(E)$ un dato útil; en concreto, ¿tiene nombre? ¿Existe algún método para calcular $\eta(E)$ ?

Answer 1

Michael, lee sobre las clases características. Por ejemplo, el dual de Poincaré de $c_k(E)$ (el $k$ clase de Chern de un haz complejo de rango $n$ ) es el ciclo a lo largo del cual $n-k+1$ las secciones genéricas se vuelven linealmente dependientes. También se puede deducir directamente del comportamiento de las clases de Chern y de las secuencias exactas cortas de haces, si existe un subfondo trivial de rango $k$ todas las clases de Chern $c_j(E)=0$ para $j>n-k$ . Existen afirmaciones análogas para las clases Stiefel-Whitney y Pontryagin de haces reales.