Variable compleja frente a análisis real 1

Question

Tomé Análisis Real 1 el semestre pasado, y fue un reto, pero no tan malo como pensé que sería. Estoy considerando tomar Función de una Variable Compleja este semestre, pero estoy indeciso. No sé mucho sobre el sistema de números complejos, y tengo miedo de tener problemas. En general, ¿debería esperar que Variable Compleja sea más rigurosa que Análisis?

Aquí están las descripciones de los cursos:

Análisis real 1 : Propiedades del sistema de números reales; teoría de conjuntos puntuales para la recta real, incluyendo el teorema de Bolzano-Weierstrass; secuencias, funciones de una variable: límites y continuidad, diferenciabilidad, integrabilidad de Riemann

Función de una variable compleja : Sistema de números complejos. Funciones de una variable compleja, sus derivadas e integrales. Expansiones en serie de Taylor y Laurent. Teoría de residuos y aplicaciones, funciones elementales, mapeo conforme y aplicaciones a problemas físicos.

Answer 1

Creo que esto depende de lo que te preocupe, y de los elementos de la asignatura que creas que puedes tener problemas. Mencionas que pensabas que el análisis real era un reto, pero también preguntas específicamente si el análisis complejo es más riguroso que el análisis real. Así que hay dos posibles aspectos del curso que uno puede mirar: el nivel de rigor matemático, que puede diferir dependiendo del estilo del profesor y/o del libro de texto, y la dificultad de los conceptos matemáticos.

En términos de rigor matemático, yo diría que es raro que se enseñe el análisis complejo con más rigor de lo que se enseñaría en el análisis real, si lo enseña el mismo profesor (lo que, por supuesto, no se da). Esto no quiere decir que el análisis complejo requiera menos rigor, sino simplemente que como el análisis real es en cierto sentido más fundamental, al enseñarlo se suele prestar más atención a muchos detalles.

En cuanto a los conceptos matemáticos, creo que es típico que un estudiante diga que el análisis complejo se remonta a conceptos más familiares aprendidos en cursos anteriores, por ejemplo, el cálculo básico y la geometría. En muchos aspectos, el análisis real es una asignatura que tiene que lidiar con cuestiones patológicas: cosas como espacios que están conectados por trayectorias pero no están conectados, funciones que son continuas en todas partes pero diferenciables en ninguna, espacios métricos que no son completos, etc. Esto hace que a menudo sea difícil visualizar algunos de los conceptos. El análisis complejo, en cambio, sólo se ocupa de un bonito espacio ( $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ ) y funciones analíticas complejas, que resultan ser básicamente las funciones más bonitas del planeta. Se aprenden muchas conexiones geométricas que implican funciones analíticas complejas, y a menudo estas conexiones se pueden visualizar. No pretendo que el análisis complejo sea una asignatura más fácil, pero ciertamente la teoría es mucho más ajustada y, en muchos sentidos, más elegante.

Espero que esto le ayude a tomar su decisión.