Calcular $\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{{1}/{2}}\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{{1}/{n}}$

Question

Calcular el límite:

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}}\cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$$

Answer 1

Nota en el inicio que $1+\frac{k}n\leqslant\mathrm e^{k/n}$ por cada $k$ por lo tanto el $n$th producto $P_n$ es tal que $P_n\leqslant\mathrm e$, en particular, la secuencia $(P_n)_{n\geqslant1}$ está acotada.

Para mostrar que $(P_n)_{n\geqslant1}$ realidad converge y para identificar su límite, tenga en cuenta que, para cada $n$, $$\log(P_n)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nf\left(\frac{k}n\right), \qquad\text{con}\quad f(x)=\frac{\log(1+x)}x.$$ La función de $f$ es continua en a $[0,1]$ (definir $f(0)=1$), de ahí sus sumas de Riemann convergen a la integral, y $P_n\to\mathrm e^\ell$ con $$\ell=\int_0^1f(x)\mathrm dx=\int_0^1\left(\sum_{n\geqslant1}(-1)^{n+1}\frac{x^{n-1}}n\right)\mathrm dx=\sum_{n\geqslant1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}.$$

Answer 2

El límite es de $+\infty$: Vamos a llamar a $P_n = \displaystyle\prod_{i=1}^n(1+\frac{i}{n})^{\frac{1}{i}}$, e $S_n=\ln P_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\ln(1+\frac{i}{n})$.

Entonces usted tiene $S_n-S_{[\frac{n}{2}]}=\displaystyle\sum_{i\geq\frac{n}{2}}^n\frac{1}{i}ln(1+\frac{i}{n})\geq[\frac{n}{2}]\times\frac{1}{n}\times\ln(1+\frac{\frac{n}{2}}{n})\rightarrow \frac{1}{2}\ln(\frac{3}{2})\neq 0$, lo que significa que $S_n$ diverge (si $(S_n)$ tenía un límite , $S_n - S_{[\frac{n}{2}]}$ iría a $0$).