Siempre se habla de la paradoja del conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos y si se contienen a sí mismos o no. ¿Qué pasa con el conjunto de todos los conjuntos que hacer ¿contenerse a sí mismos? ¿Es eso una paradoja del caimán ?
(Supongamos que no tiene el axioma de regularidad, por cierto).
En el conjunto habitual de axiomas de la teoría de conjuntos, ZFC, éste es el conjunto vacío. Es decir ningún conjunto se contiene a sí mismo . Es inmediato que $\varnothing\notin\varnothing$ .
Si consideramos ZF sin el axioma de regularidad, es consistente que la colección de conjuntos de la forma $x=\{x\}$ es una clase propia (es decir, definible, pero no un conjunto, como la clase Russell). En cuyo caso ni siquiera es un conjunto.
Pero supongamos que sólo hay un conjunto que se contiene a sí mismo, $x=\{x\}$ entonces el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos es $\{x\}=x$ . Debe contenerse a sí mismo. Pero si el conjunto que se contiene a sí mismo es $y=\{y,\varnothing\}$ entonces el conjunto de conjuntos que se contienen a sí mismos es $Y=\{y\}\neq y$ y $Y\notin Y$ .
Si analizamos la prueba de la paradoja de Russell en este caso tenemos que:
Si $X=\{x\mid x\in x\}$ es un conjunto, entonces $X\in X$ en cuyo caso $X\in X$ o $X\notin X$ en cuyo caso $X\notin X$ .
No hay ningún problema en ninguno de los dos casos.
(Incluido para el beneficio de la OP) Conjuntos de la forma $x = \{ x \}$ se llaman Átomos de Quine .
Pero como ambas cosas son posibles, ¿no es un problema? ¿No está el conjunto tan mal definido como el de la paradoja de Russell?
Vuelvo a utilizar el modelo de dos elementos.
Dependiendo de su axioma tales conjuntos pueden o no existir.
Existe un modelo de dos elementos de unión, emparejamiento, comprensión y fundación tal que $y \in y$ . (Si quieres, puedes ignorar la fundación).
Por ejemplo, dejemos que $M = \{x, y\}$ y $\in^\mathcal{M} = \{(x,y), (y,y)\}$ . Se puede verificar todo el axioma expuesto anteriormente. En este modelo, existe un conjunto $y$ tal que $y \in y$ .
También si estás familiarizado con la paradoja de Russel, el conjunto de todos $\{x : x \notin x\}$ también es un conjunto en este modelo. Todo el universo $V = y$ también es un conjunto en este modelo $\mathcal{M}$ .
Por supuesto, si miras cualquiera de las otras respuestas, la $ZF$ Los axiones demuestran que tales conjuntos no existen.
En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, no se puede demostrar la inexistencia del conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos. Como no existe un conjunto universal, no se puede demostrar que el complemento de ese conjunto es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. De hecho, en esa teoría, se puede demostrar mediante el axioma de regularidad que ese conjunto es el conjunto vacío. En New Foundations, hay un conjunto universal. En esa teoría, se puede demostrar que el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos tampoco existe. Aquí hay una prueba incompleta, pero estoy seguro de que existe una prueba formal completa.
El conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos no existe. Supongamos que el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos existe. Entonces su complemento con respecto al conjunto universal es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, lo que contradice el hecho de que ese conjunto no existe. Por tanto, el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos tampoco existe.
Fuentes:
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