Producto de tiempo de los productos solicitados (exponenciales)

Question

Tengo una simple pregunta acerca de una propiedad utilizada en QFT. El operador $U_{21}$ definido por $$U_{21} = T\left\{\exp\left(-i\int_{t_1}^{t_2} dt V(t')\right)\right\} \etiqueta{1}$$ satisface $$U_{32}U_{21}=U_{31}\tag{2}$$ (where the $T$ denotes time ordering). My question is: how do we carry out the product of the $U$'s? Can we say that $$T(A)T(B)=T(AB)~?\tag{3}$$ (Esto parece plausible para mí.)

Pero mi problema es que para mostrar por encima de la identidad, uno debe lidiar con cosas como $e^{A+B}$, lo cual no necesariamente es $e^Ae^B$. No conmutativa parte de $e^{A+B}$ (la parte que hace la diferencia de las $e^Ae^B$) son asesinados por el tiempo de ordenar?

Answer 1

No es genéricamente cierto que $T(A)T(B)=T(AB)$ para cualquier operador $A$$B$. Sin embargo, ES cierto que si los operadores en $A$ todos ocurrir en los últimos tiempos de los operadores en $B$. Esto es trivialmente cierto, porque, a continuación, $T(A)T(B)$ ya es hora-le ordenó en total (si expande $A$ $B$ a de potencia de la serie y los multiplicamos término por término, cada término va a ser ordenados en el tiempo).

En su caso, $U_{32}$ sólo implica que el operador $V(t')$ veces $t_2<t'<t_3$, mientras que $U_{21}$ implica que el operador $V(t')$ veces $t'<t_2$, por lo que el producto $U_{32}U_{21}$ es así el tiempo ordenado, y es igual a $U_{31}$

Answer 2

No, eq. (3) no es cierto. Creo que lo que sucede si el operador $B$ es en un momento posterior que el operador $A$.

1. El tiempo-ordenó exponentiated Hamiltoniana se define formalmente como $$U(t_2,t_1)~=~ T\exp\left[-\frac{i}{\manejadores}\int_{t_1}^{t_2}\! dt~H(t)\right]$$ $$~=~\lim_{N\to\infty} \exp\left[-\frac{i}{\manejadores}H(t_2)\frac{t_2-t_1}{N}\right] \cdots\exp\left[-\frac{i}{\manejadores}H(t_1)\frac{t_2-t_1}{N}\right]$$ para $t_1 <t_2$.

2. Sin embargo, matemáticamente es caracterizada como la solución $$\Psi(t_2) ~=~ U(t_2,t_1) \Psi(t_1)$$ el tiempo-dependiente de la ecuación de Schrödinger (TDSE), cf. este Phys.SE post.

3. El grupo de la propiedad de
   $$U(t_3,t_1)~=~U(t_3,t_2)U(t_2,t_1)$$ es manifiestamente satisfecho.