Acerca de la varianza de una suma ponderada

Question

¿Qué se puede decir acerca de la varianza de la siguiente cantidad

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(\frac{f(x_i)}{\sum_{j=1}^nf(x_j)}-b\right)g(x_i) ?$$

Aquí, $b \in [0, 1]$, y el $x_i$s se yo.yo.d y $f(x) \in [0, +\infty]\; \forall x$.

En particular, para lo $b$ es la varianza minimizado ?

Answer 1

Resulta que un gran $n$, por encima de la estimador puede ser escrita en la forma $\mathbb E_X [(h(X) - b) g(X)]$ donde $h(x) := f(x) / \int f(y) d\mu_X(y)$ , y directos de computación, ha varianza $\mathbb E_X [h(X)g(X)] - b\mathbb E_X[g(X)^2]$ cual es, por supuesto, minimizado por tomar

$$b = b^* := \frac{\operatorname{cov}[h(X),g(X)]}{\operatorname{var}[g(X)]}.$$

Esta es una variación de reducción de la técnica conocida como "control de variables".

Queda para la estimación de $\operatorname{cov}[h(X),g(X)]$ $\operatorname{var} [g(X)]$ a partir de muestras finitas $x_1,\ldots,x_n$, y hemos terminado.