Número de maneras en que el color de los números del 1 al 9 de elegir entre 3 colores para cada uno, de tal manera que no hay dos números cuya suma es impar son del mismo color

Question

Me he dado cuenta de que los números pares y los impares no tienen el mismo color, pero dos probabilidades o dos pares puede.

Traté de contar como esta: Para el número 1 podemos elegir entre 3 colores, para 2 tenemos 2 colores, y por 3 tenemos dos posibilidades: si usted elige el mismo color como el número 1 (uno de color a la izquierda, el mismo que el número 1), hay 2 colores para el número 4; si usted elige un color diferente para el número 3 (no el mismo color como el número 1, también de un solo color a la izquierda) no es sólo un color para los números 4, 6 y 8, y todos los otros números impares 5, 7 y 9 tienen dos colores cada uno. Vamos a llamar a este cuando se elige un color diferente que el color para el número uno de "bloqueo".

Usted puede bloquear los colores en los números 3, 5, 7 o 9. Si bloqueo a 3, el número de maneras en que se $3*2*1*1*2*1*2*1*2$ 5 $3*2*1*2*1*1*2*1*2$, 7 $3*2*1*2*1*2*1*1*2$ 9 $3*2*1*2*1*2*1*2*1$, en cada caso, de 48 años, por lo $48*4=192$, pero esto ya es más de la solución. ¿Por qué esta mal, lo he doble cuenta?

Answer 1

Los colores utilizados para la coloración $D=\{1,3,5,7,9\}$ no se puede utilizar para colorear $E=\{2,4,6,8\}$ y vice-versa. Así que tenemos dos casos: o $D$ es monocromática o $E$ es monocromática. En el primer caso, una vez que elija el color para cada elemento de la $D$ tenemos $2^4$ maneras para colorear $E$. En el segundo caso, una vez que elija el color para los elementos de $E$ tenemos $2^5$ maneras para colorear de los elementos de la $D$. Nos han contado dos veces los casos en los que tanto $D$ $E$ son monocromáticos, de ahí el resultado final es

$$ 3\cdot 2^4+ 3\cdot 2^5 - 6 = \color{blue}{138}. $$

Answer 2

Este es un buen enfoque, pero el error que estamos haciendo es que se puede bloquear también los colores en $4$, $6$ o $8$. Si no bloquear los colores en$3$, entonces usted tiene $2$ opciones para $4$, pero uno de ellos es el color que aún no ha sido utilizado, y este se bloqueará los colores.

Así que en realidad el número de maneras en que el bloqueo de las $4$$3\times 2\times 1\times 1\times 1\times 2\times 1\times 2\times 1=24$, el número de maneras para bloquear a $5$$3\times 2\times 1\times1\times 1\times1\times2\times1\times2=24$, pero sólo hay $12$ formas de bloqueo en $6$, $12$ para $7$, $6$ para $8$ $6$ $9$ (e $6$ más que nunca de bloqueo, es decir, sólo el uso de dos colores).

Answer 3

Cualquiera de los números pares o impares serán del mismo color. Excluyendo los casos cuando también los números de los otros paridad son monocromáticos, hay $$ (2^5-2+2^4-2)3=132 $$ tales combinaciones. Mediante la adición de 6 combinaciones posibles con ambas paridades de ser monocromática se obtiene como respuesta final del número $$138.$$

Answer 4

Como nota "la suma es impar" es equivalente a "tener la paridad". Por lo tanto, esto puede considerarse como un completo gráfico bipartito, K(5,5). Hay un concepto llamado el "polinomio cromático", que es un polinomio que da el número de colores para diferentes número de color. https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/mat/2009/hubai_tamas.pdf da la fórmula para un bipartito gráfico como

$chr(K_{n,m}, q) = \sum_k S(m, k)q(q − 1). . .(q − k + 1)(q − k)n$

Donde S(m,k) son los números de Stirling del segundo tipo.

Es 's probablemente más fácil en este caso simplemente encontrar el número de la inspección, pero pensé que podría estar interesado en la teoría más amplia.