Por qué no hay una fórmula log(a) * log(b) = (algo)?

Question

Cuando yo estaba estudiando en la escuela secundaria, mi profesor me enseñó acerca de

log(a) + log(b) = log(ab)

log(a) - log(b) = log(a/b)

log(a) / log(b) = log$_b$(a)

Entonces, le pregunté a mi maestro "¿por Qué no existe una fórmula log(a) * log(b) = (algo) ?".

Mi profesora no sabe por qué ?

Ahora, yo todavía no sé por qué no hay una fórmula log(a) * log(b) = (algo) ?

Answer 1

Para los números reales $x$$y$, la ecuación de $(\log x)y = \log (x^y)$ mantiene.

Así, por real números positivos $a$$b$, de dejar a $y = \log b$, se deduce que el $\log(a)\log(b) = \log(a^{\log b})$. Sí se puede deducir que $\log a \log b$$\log (b^{\log a})$.

Estas ecuaciones no se menciona mucho, tal vez debido a que fácilmente puede deducirse de las otras leyes (y no parece muy interesante, al menos para el generalista sólo el aprendizaje de esta materia).

Answer 2

Actualmente no hay bien conocida la función $\;f(x,y)\;$ tal que $\;\log(x)\cdot\log(y)=\log(f(x,y)).\;$ es decir, la función $\;f(x,y):=x^{\log(y)}=y^{\log(x)}\;$ no se ha dado un nombre, sin embargo, aunque es una función válida. Esta situación puede cambiar en algún momento en el futuro. Hay relativamente pocas funciones con nombre, pero los nuevos aparecen a veces. Un ejemplo es la función W de Lambert.