Número máximo de círculos tangentes a dos círculos concéntricos

Question

En un reciente concurso de matemáticas, se planteó la siguiente pregunta:

Dos círculos concéntricos de radios 1 y 9 forman un anillo. En el interior de este anillo $n$ Los círculos se dibujan sin superponerse, siendo cada uno de ellos tangente a los dos círculos del anillo. ¿Cuál es el mayor valor posible para $n$ ?

Lo resolví así:

El radio de cada uno de los círculos pequeños debe ser $(9-1)/2=4$ . Uní los centros de dos de los círculos pequeños entre sí, y también con el centro del círculo grande. Sea el ángulo central $\theta$ . El triángulo formado tiene longitudes de lado $4+1=5$ , $4+1=5$ y $4+4=8$ . Esto se puede dividir en dos para obtener dos triángulos 3-4-5. Como estos triángulos son rectos, podemos resolver $\theta$ :

$$ \begin{align} \sin\frac{\theta}{2}&=\frac{4}{5}\\ \frac{\theta}{2}&=\arcsin{\frac{4}{5}}\\ \theta&=2\arcsin\frac{4}{5}. \end{align} $$

Ahora la respuesta a la pregunta es simplemente $\left\lfloor\frac{2\pi}{\theta}\right\rfloor=3$ .

Sin embargo, este concurso era sin calculadora, por lo que no pude calcular $\arcsin(4/5)$ para la respuesta. ¿Cómo se resuelve esta pregunta sin una calculadora?

Answer 1

Dependiendo de lo que se entienda por círculos no superpuestos, hay otra forma posible de obtener una respuesta de $3$ .

Answer 2

No es necesario calcular $\arcsin \frac45$ exactamente, porque vas a tomar la palabra de todos modos.

Sólo hay que saber que el ángulo opuesto al lado de longitud $4$ en un $(3,4,5)$ triángulo rectángulo está entre $45^\circ$ (el umbral entre $3$ y $4$ círculos) y $60^\circ$ (el umbral entre $2$ y $3$ círculos).

Puedes averiguarlo comparando los lados $(3,4,5)$ a los lados $(s,s,\sqrt2 s)$ y $(s, \frac{\sqrt3}{2}s, 2s)$ que veríamos en los triángulos con un $45^\circ$ y $60^\circ$ ángulo de grados, respectivamente.

Answer 3

Tenga en cuenta que $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{4}{5}<\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Tenemos $\displaystyle \sin45^\circ<\sin\frac{\theta}{2}<\sin60^\circ$ .

$90^\circ<\theta<120^\circ$ .

Por lo tanto, $\displaystyle 4>\frac{360^\circ}{\theta}>3$ .