¿Son los espacios $X, Y$ con $\pi_{1}(X) \cong \pi_{1}(Y)$ , $\widetilde{X} \simeq \widetilde{Y}$ ¿es necesariamente equivalente a la homotopía?

Question

Dejemos que $X,Y$ sean espacios conectados por trayectorias, localmente conectados por trayectorias, semilocalmente conectados de forma simple, con grupos fundamantales isomorfos y coberturas universales homotópicas equivalentes. ¿Son $X$ y $Y$ ¿es necesariamente equivalente a la homotopía?

Answer 1

El espacios para lentes $L(p,q)$ todos tienen $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ como grupos fundamentales y su cobertura universal es $S^3$ . Pero $L(p,q_1)$ es homotópicamente equivalente a $L(p,q_2)$ si y sólo si $q_1q_2\equiv \pm n^2 \mod{p}$ para algunos $n$ . Así, $L(5,2)$ y $L(5,4)$ proporcionar un contraejemplo a su afirmación, ya que $2\cdot 4 \equiv 3 \mod 5$ pero $\pm$ Las casillas sólo pueden ser $1$ o $4$ $\mod 5$ (nota que $-1=4$ y, por supuesto, $-4=1$ ).