No existe una función continua $f : \mathbb R → \mathbb R$ tal que $f(x)$ es racional si y sólo si $f(x + 1)$ es irracional

Question

Demostrar que no existe una función continua $f : \mathbb R → \mathbb R$ tal que $f(x)$ es racional si y sólo si $f(x + 1)$ es irracional. Lo teoremas se puede utilizar para probar la declaración?

Answer 1

Las dos funciones continuas $x\mapsto f(x)\pm f(x+1)$ sólo irracional de valores, por lo tanto ambos son constantes. Entonces su suma $2f$ también es constante, pero la constante que no puede ser ni racional ni irracional.