Deje $a<b$ $f:(a,b)\to \mathbb R$ ser continua y tal que para todo $x\in (a,b)$, $\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) +f(x-h)}{h^2}$ existe. Deje $\beta:x\mapsto \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) +f(x-h)}{h^2}$. Si $\beta$ es continuo en el $(a,b)$, demuestran que, a $f\in C^2((a,b))$ ($f$ es dos veces continuamente diferenciable)
Soy consciente de que si $f$ es dos veces diferenciable, entonces $\beta = f''$. También estoy consciente de que la mera existencia de $\beta$ no garantiza que $f$ es dos veces diferenciable. La fuerte presunción en este problema es que el $\beta$ ser continua. La continuidad de la asunción en $f$ debe también entran en juego, en algún lugar...
He visto este problema se le preguntó en un examen oral y me parece bastante interesante. He estado pensando acerca de esto por un par de días, pero me han hecho cero progreso hacia una solución ...
