Inversa de L'hospital.... ¿existe?

Question

Digamos que tenemos una función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, diferenciable tal que $\lim_{x\to\infty}f(x)=a, a\in\mathbb{R}$ $\exists\lim_{x\to\infty}xf'(x).$ Y tengo que calcular: $$\lim_{x\to\infty}xf'(x)$$

...Primero vamos a reescribir esto como:

$\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{\frac 1x}$. Ahora... ¿puedo usar "inversa l'hospital"? y a lo que me refiero es... para integrar la parte superior y la parte inferior y tiene: $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{ln(x)}$ y utilice el hecho de que $\lim_{x\to\infty}f(x)=a$.... así que mi límite sería $\lim_{x\to\infty}\frac {a + c_1}{ln(x)+c_2}=0?$

Y si no puedo hacer esto, ¿cómo puedo solucionar este problema?

Answer 1

Yo no estoy convencido acerca de la inversa de la regla de L'Hospital. Todo lo que sé es que hay un montón de ejemplos, cuando no funciona.

En su lugar, puede utilizar L'Hôpital sí mismo. La idea es que el $(xf(x))' = f(x) + xf'(x)$.

Tenga en cuenta que desde $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ existe y $\lim_{x \to \infty} xf'(x)$ existe, tenemos que $\lim_{x \to \infty} (xf(x))'$ existe.

Ahora, todo lo que necesitamos es la siguiente transformación: $$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{xf(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(xf(x))'}{1} = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} xf'(x) $$

Donde somos una ligera generalización de L'Hospital(donde la forma indeterminada, puede ser cualquier cosa, sobre el infinito) por el hecho de que el denominador es infinito en el infinito, y tanto el numerador y el denominador son al menos diferenciable en a $x > R$ algunos $R$, $\lim_{x \to \infty} (xf(x))'$ existe, ya que de lo contrario, la desigualdad no es válido. Es por eso que tenemos $\lim_{x \to \infty} xf'(x)$ a existir antes de conocer su valor : L'Hôpital no puede ser utilizado de otra manera.

A partir de aquí, es bastante claro que $\lim_{x\to \infty} xf'(x) = 0$. Voy a adjuntar un enlace a la otra la regla de L'Hospital en breve.

EDIT : En esta respuesta :Si $f'$ tiende a una positiva límite de $x$ enfoques infinito, a continuación, $f$ enfoques infinito puede encontrar la generalización de la regla.