Para $a\in\mathbb N$, vamos a $R_a\subseteq\mathbb{R}$ el conjunto de las raíces reales de polinomios cuyos coeficientes son números enteros con valor absoluto en la mayoría de los $a$.
$$R_a=\left\{r\in\mathbb{R}\middle|\sum_{i=0}^na_ir^i=0,n\in\mathbb N,a_i\in\mathbb Z,|a_i|\leq a\right\}$$
(Tenga en cuenta que los grados de la permitida polinomios no son acotados.)
Quiero saber qué números pueden ser arbitrariamente bien aproximada por tales raíces. En particular, se $R_a$ denso en algún intervalo para cualquier $a$?
Discusión:
Si $r\in R_a$$r\neq 0$$1/r\in R_a$, ya que invirtiendo el orden de los coeficientes del polinomio de que $r$ es una raíz se obtiene un polinomio de que $1/r$ es una raíz.
En los comentarios, mathworker21 señaló que considerando el polinomio $1 - aX -\dots-aX^n$ uno puede mostrar que cada distinto de cero $r\in R_a$ satisface $|r|>\frac{1}{a+1}$. Por lo tanto, también tenemos $|r|<a+1$, lo $R_a$ está acotada.
También podemos preguntarnos sobre el conjunto $R_a^\mathbb C$ de las raíces de estos polinomios en $\mathbb C$. Juan Báez tiene una página acerca de tales conjuntos de aquí, que contiene algunas imágenes hermosas.
Ha escrito también un papel, lo que da una referencia a un documento por Thierry Bousch en el que se demuestra que las raíces de la Littlewood polinomios (con los coeficientes de $\pm1$) son densas en el espacio anular $2^{-1/4}<|z|<2^{1/4}$.
Desde $\{-1,1\}\subseteq\{-1,0,1\}$, lo que responde el complejo análogo de mi pregunta: el conjunto de $R_1^\mathbb C$ es denso en algunos pelota. Lamentablemente, el artículo está escrito en francés, así que no puedo decir si la prueba se generaliza a los reales. (El resultado real no es un corolario inmediato de la compleja versión, porque puede haber una secuencia en $R_a^\mathbb C$ tendiendo a $x\in\mathbb R$ sin que exista una secuencia en $R_a^\mathbb C\cap\mathbb R$.)
