Cómo utilizar multiplicadores de lagrange aquí?

Question

Tengo una simple QP de la siguiente manera:

$\min L(x,y) = (x-5.1)^2+y^2$

tal que

$(x-3)^2+y^2\geq1$

$(x-5.3)^2+y^2\geq1$

$(x-7)^2+y^2\geq1$

Intuitivamente, creo que la solución óptima del problema es $x^*=4.3,y^*=0$.

Quiero que el punto más cercano de x en un plano a (5.1,0), mientras que debe ser lo suficientemente lejos de (3,0), (5.3,0), y (7,0).

Creo que puedo usar la relajación de Lagrange aquí, pero no pude encontrar un buen punto de partida.

Answer 1

Acabo de borrar y. Modificar las restricciones y el uso de variables ficticias para deshacerse de los funcionales de las desigualdades

$$g_1(x)+s_1=-(x-3.0)^2+s_1=-1$$

$$g_2(x)+s_2=-(x-5.3)^2+s_2=-1$$

$$g_3(x)+s_3=-(x-7.0)^2+s_3=-1$$

$$s_1,s_2,s_3\ge 0$$

La construcción de su Lagrange

$$Z=L(x)+\lambda_1(r_1-g_1(x)-s_1)+\lambda_2(r_2-g_2(x)-s_2)+\lambda_3(r_3-g_3(x)-s_3)$$

donde $r_1=r_2=r_3=-1$. Las condiciones de primer orden para regular las variables son

$$\frac{\partial Z}{\partial x}= \frac{\partial L}{\partial x}-\lambda_1\frac{\partial g_1}{\partial x}-\lambda_2\frac{\partial g_2}{\partial x}-\lambda_3\frac{\partial g_3}{\partial x}=0$$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda_1}= r_1-g_1-s_1=0$$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda_2}= r_2-g_2-s_2=0$$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda_3}= r_3-g_3-s_3=0$$

Para los no-negativo de las variables ficticias de las condiciones de Kuhn-Tucker rendimiento (me salto la derivación ya que se puede encontrar en cualquier lugar)

$$s_1\cdot \frac{\partial Z}{\partial s_1}= -s_1\lambda_1=0$$

$$s_2\cdot \frac{\partial Z}{\partial s_2}= -s_2\lambda_2=0$$

$$s_3\cdot \frac{\partial Z}{\partial s_3}= -s_3\lambda_3=0$$

Si usted resolver el sistema (yo usé NSolve de Mathematica) hay 7 juegos de la solución de los cuales sólo 4 conjuntos de satisfacer las condiciones de $s_1,s_2,s_3\ge0$. Mediante la comprobación de la función de Lagrange el conjunto óptimo se encuentra $$x=4.3\quad \lambda_1=0\quad \lambda_2=-0.8\quad \lambda_3=0\quad s_1=0.69\quad s_2=0\quad s_3=6.29$$