¿Cuál es la interpretación geométrica de la transposición?

Question

Puedo seguir la definición de la transposición algebraicamente, es decir, como una reflexión de una matriz a través de su diagonal, o en términos de espacios duales, pero carezco de cualquier tipo de comprensión geométrica de la transposición, o incluso de las matrices simétricas.

Por ejemplo, si tengo una transformación lineal, digamos en el plano, mi intuición es visualizarla como alguna distorsión lineal del plano a través de la escala y la rotación. No sé cómo se compara esta distorsión con la que resulta de aplicar la transposición, o qué se puede decir si la transformación lineal es simétrica. Geométricamente, ¿por qué podríamos esperar que las matrices ortogonales sean combinaciones de rotaciones y reflexiones?

Answer 1

Para responder primero a tu segunda pregunta: una matriz ortogonal $O$ satisface $O^TO=I$ Así que $\det(O^TO)=(\det O)^2=1$ y por lo tanto $\det O = \pm 1$ . El determinante de una matriz te dice por qué factor se multiplica el volumen (con signo) de un paralelípedo cuando aplicas la matriz a sus aristas; por lo tanto, golpear un volumen en $\mathbb{R}^n$ con una matriz ortogonal o bien deja el volumen sin cambios (por lo que es una rotación) o lo multiplica por $-1$ (por lo que es un reflejo).

Para responder a su primera pregunta: la acción de una matriz $A$ puede expresarse claramente a través de su descomposición de valor singular, $A=U\Lambda V^T$ , donde $U$ , $V$ son matrices ortogonales y $\Lambda$ es una matriz con valores no negativos a lo largo de la diagonal (nb. esto tiene sentido incluso si $A$ no es cuadrado) Los valores de la diagonal de $\Lambda$ se denominan valores singulares de $A$ y si $A$ es cuadrado y simétrico serán los valores absolutos de los valores propios.

La forma de pensar en esto es que la acción de $A$ es primero rotar/reflejar a una nueva base, luego escalar a lo largo de las direcciones de su nueva base (intermedia), antes de una rotación/reflexión final.

Teniendo esto en cuenta, observe que $A^T=V\Lambda^T U^T$ por lo que la acción de $A^T$ es realizar la inversa de la rotación final, luego escalar la nueva forma a lo largo de las direcciones unitarias canónicas, y luego aplicar la inversa de la rotación original.

Además, cuando $A$ es simétrica, $A=A^T\implies V\Lambda^T U^T = U\Lambda V^T \implies U = V $ Por lo tanto, la acción de una matriz simétrica puede ser considerada como una rotación a una nueva base, luego escalando en esta nueva base, y finalmente rotando de nuevo a la primera base.

Answer 2

Yoyo ha descrito sucintamente mi intuición para las transformaciones ortogonales en los comentarios: de polarización sabes que puedes recuperar el producto interior a partir de la norma y viceversa, por lo que saber que una transformación lineal preserva el producto interior ( $\langle x, y \rangle = \langle Ax, Ay \rangle$ ) equivale a saber que preserva la norma, por lo que las transformaciones ortogonales son precisamente las lineales isometrías .

Me desconcierta un poco tu comentario sobre las rotaciones y los reflejos porque para mí una rotación es, por definición una transformación ortogonal del determinante $1$ . (Digo esto no porque me guste ceñirme dogmáticamente a las definiciones por encima de la intuición, sino porque esta definición es elegante, sucinta y coincide con mi intuición). Entonces, ¿con qué definición intuitiva de una rotación estás trabajando aquí?

En cuanto a la transposición y las matrices simétricas en general, mi intuición aquí no es geométrica. En primer lugar, aquí es un comentario que puede o no puede ayudar a usted. Si $A$ es, por ejemplo, una matriz estocástica que describe las transiciones en algún Cadena de Markov entonces $A^T$ es la matriz que describe lo que ocurre si se ejecutan todas esas transiciones hacia atrás. Ten en cuenta que esto no es en absoluto lo mismo que invertir la matriz en general.

Un comentario un poco menos ingenuo es que la transposición es un caso especial de una estructura llamada categoría de daga que es una categoría en la que cada morfismo $f : A \to B$ tiene una daga $f^{\dagger} : B \to A$ (aquí el adjunto). El ejemplo que estamos tratando aquí es implícitamente la categoría daga de los espacios de Hilbert, que es relevante para la mecánica cuántica, pero hay otra categoría daga relevante para una parte diferente de la física: la $3$ - categoría de cobordismo describe cómo el espacio puede cambiar con el tiempo en la relatividad, y aquí la daga corresponde simplemente a darle la vuelta a un cobordismo. (Obsérvese la similitud con el ejemplo de la cadena de Markov.) Como se supone que tanto la relatividad como la mecánica cuántica describen la evolución temporal de los sistemas físicos, es natural preguntarse por la forma de relacionar las dos categorías de dagas que acabo de describir, y esto es (a grandes rasgos) parte de teoría cuántica de campos topológicos .

La gracia es que para mí, "adjunto" es intuitivamente "inversión del tiempo". (Desgraciadamente, no sé qué tiene que ver esto con los operadores autoadjuntos como observables en la mecánica cuántica).

Answer 3

Resumen Si una matriz A que actúa sobre vectores te dice cómo se transforma un vector, la matriz $A^T$ te dice cómo medición lineal de este vector se transforman.

Si E es su espacio vectorial, el "espacio de medidas lineales", o espacio dual es el espacio de todas las transformaciones lineales $E \rightarrow \mathbb{R}$ . Dicho de otro modo, es el espacio de todas las funciones lineales que toman un vector y dan como resultado un número.

Ejemplo Trabajemos en $\mathbb{R}^2$ .

• Tenemos un vector genérico $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$
• Una matriz de muestra $A = $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $
• Una muestra de medición lineal $h(X)=2x_1$ , lo observamos $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$

Quizá esta medida tenga algún significado físico (masa total o momento...). Queremos saber cómo la transformación A afecta a h.

El producto familiar $AX = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 \end{pmatrix}$ te dice cómo se transforma X. Ahora que hemos visto que X ha cambiado podríamos preguntarnos, ¿cuál es la nueva medida de X por h? Se obtiene calculando $h(AX)$ :

$h(Ax) = h(\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 \end{pmatrix}) = 2x_1 + 2x_2$ que anotamos como $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Así que cuando transformamos por A, h pasa de $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ a $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Resulta que esta transformación es precisamente lo que hace la transposición, como puedes comprobar: $A^T\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Esto es un poco a mano, si quieres más detalles busca el espacio dual, que hace que todo esto sea preciso.

Answer 4

Interpretamos mejor el significado geométrico de la transposición desde el punto de vista de la geometría proyectiva. Porque sólo en la geometría proyectiva es posible interpretar la de todas las matrices cuadradas.

Sería difícil para la OP entender y comprender las premisas necesarias o la base matemática al interpretar el significado en geometría proyectiva de la transposición de una matriz cuadrada sólo a partir de una respuesta no demasiado extensa publicada aquí. Así que le recomiendo que lea el artículo en este enlace primero.

Después de leer el artículo en el enlace anterior, utilice los principios básicos que aparecen a continuación:

1. Algunas transformaciones geométricas básicas o elementales son equivalentes a las matrices elementales de Househodler en coordenadas homogéneas en geometría proyectiva; así se define la estereohomología;

2. Todas las matrices cuadradas pueden representarse mediante la multiplicación concatenada de matrices elementales;

3. una transposición de cualquier transformación geométrica elemental significa intercambiar el "centro" y la "interfase" de la misma según la definición de estereohomología.

entonces: la transposición de cualquier matriz cuadrada tiene su propio significado geométrico en la geometría proyectiva, aunque para casos complicados, la interpretación geométrica de la transposición podría no ser única.

Answer 5

Mi simple intuición hasta ahora:

• La transposición es el proceso de aplicar una secuencia de transformaciones a la inversa. Ejemplo: La inversa de [aplicar B y luego A] es, [aplicar A (transpuesto) y luego aplicar B (transpuesto)]. $$(AB)^T = B^TA^T$$
• La inversa es la transformación que deshace el efecto de su contraparte.

En un caso sencillo, como una matriz de rotación única $R$ Deshacer la transformación $R^{-1}$ es lo mismo que invertir la transformación $R^T$ .