r bolas distintas en N cajas

Question

Si se distribuyen al azar r bolas distintas en N (N r) cajas, ¿cuál es la probabilidad de que la caja 1 reciba exactamente j bolas ( 0 r)?

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mi solución es [espacio de muestra] = $ N^r $

$$P=\frac{ 1}{N^r}\binom{r}{j}$$

Sé que hay algo que no funciona. ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Tienes el espacio de muestra correcto. Calculamos cuántas formas hay de colocar las bolas para que $j$ están en la caja $1$ .

• Primero elijamos $j$ bolas de la $r$ . Hay ${{r}\choose{j}}$ formas de hacerlo.

• Sólo hay $1$ manera de colocar estos $r$ bolas ya que todas deben ir en la caja $1$ .

• Esta es la parte que le falta : Para el resto de $r-j$ bolas, podemos colocarlas cada $N-1$ formas. Tenemos $(N-1)^{(r-j)}$ maneras de reemplazar estas bolas restantes.

Ahora lo multiplicamos todo junto. Tenemos:

$${{r}\choose{j}}(N-1)^{(r-j)} $$

La probabilidad es:

$$\frac{{{r}\choose{j}}(N-1)^{(r-j)}}{N^r}$$

Answer 2

La respuesta de CommonerG es correcta. Otro enfoque es considerarlo como un experimento Binomial: cada bola es un intento, cuando cae en la casilla 1 es un éxito (prob= $1/N$ ), está interesado en obtener $j$ éxitos. Entonces

$$ P = \binom{r}{j} \left(\frac{1}{N}\right)^j \left(1-\frac{1}{N}\right)^{r-j}$$