Pregunta sobre la definición de la categoría de los elementos de un presheaf.

Question

Soy nuevo en el Topos de la teoría. He hecho acaba de comenzar el aprendizaje. Estoy leyendo MacLane-Moerdijk del libro, como me sugirieron como la mejor introducción al tema. Lamentablemente no puedo dar sentido a la siguiente.

En la sección 5 del Capítulo I, (página 41) construyen lo que se necesita para demostrar que en la presheaf categoría $[\mathcal{C}^{\textrm{op}},\mathbf{Set}]$, cualquier objeto es la colimit de un diagrama de objetos representables. Ellos definen la categoría de elementos de $P$ como sigue: Los objetos son todos los pares $(C,p)$ donde $C$ es un objeto de $\mathcal{C}$ $p$ es un elemento $p\in P(C)$. Sus morfismos $(C',p')\to (C,p)$ son los morfismos $u:C'\to C$ $\mathcal{C}$ que $pu=p'$. No entiendo la morfismos de esta categoría. $p$ es un conjunto y $u$ un morfismos en $\mathcal{C}$ entonces, ¿qué $pu$ significa? Qué significan $P(u)(p)=p'$ tal vez?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

$u:C'\to C$ es una de morfismos, y $P$ es un presheaf, lo $P(u):P(C)\to P(C')$ es sólo una función entre dos conjuntos, que se puede aplicar a$p\in P(C)$, y obtener un elemento en $P(C')$, que es simplemente el elemento $P(u)(p)$, y el requisito es, como escribir, sólo $P(u)(p)=p'$.

Observe que no hay ningún trabajo de la conjetura que participan aquí y realmente no hay otra manera de interpretarlo. También, observe que introducen esta notación abreviada de un par de páginas antes, cuando introducen presheaf categorías.

Answer 2

Sí, eso es lo que quieren decir.

Escrito $up$ o $u(p)$ tendría más sentido intuitivo, ya que este se siente más como $u$ es "actuar" en la $p$ (y ya sólo tenemos un gadget, $P$, para el torneado $u$ en una función de conjuntos, su definición es realmente la única manera), pero ya que estamos utilizando contravariante functors, estas definiciones causa de la composición de mirar hacia atrás.

Si si $u' : C'' \to C'$ es otro de morfismos, a continuación, escribir esta acción como $u(p)$ le dan:

$$u'(u(p)) = (uu')(p)$$

Si se utiliza la definición del texto, sin embargo, tenemos mucho más razonable aspecto:

$$p(uu') = (pu)u'$$