Por el teorema de estructura para los grupos abelianos finitos, todos estos grupos son productos de grupos cíclicos.

Question

Deje $T$ ser un primer orden de teoría de grupos cíclicos. Incluso si un grupo abelian $(G,+)$ satisfacer $(G,+)\models T$ no hay ninguna razón por la que $(G,+)$ es cíclica. (Por ejemplo, por Löwenheim–Skolem teorema no es incontable grupo abelian $G$ que satisfacer $T$.)

Traté de encontrar un primer orden de la fórmula es verdadera para todos los grupos cíclicos, pero es falsa para algunos abelian grupo. Pero no sé cómo encontrarlo. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Para hacer mi comentario más formal, la declaración siguiente (usando la notación multiplicativa para grupos) es verdadera en todos los cíclico, pero no en todos los abelian grupos. Es falso, por ejemplo, en el libre abelian grupo de rango 2, o en el Klein 4-grupo.

$\forall x,y \in G, \exists z \in G$ tal que $z^2=x \vee z^2=y \vee z^2=xy.$

Una declaración de que es cierto en todos los 2-generador, pero no en todos los 3-generador de abelian grupos es

$\forall x,y,z \in G, \exists w \in G$ tal que $w^2=x \vee w^2=y \vee w^2=z \vee w^2=xy \vee w^2=xz \vee w^2=yz \vee w^2 = xyz.$

Answer 2

La prueba de que el grupo multiplicativo de un campo finito es cíclico utiliza la propiedad de un grupo cíclico $C$ que para cada número natural $n > 0$, hay en la mayoría de las $n$ elementos en $C$ orden $n$. Esta es una de primaria (de primer orden), para cada una de las $n$, que tiene también para el infinito cíclico grupo (vacuously). Para el finito cíclica de los grupos, es suficiente decir que para cada uno de los prime $p$, hay en la mayoría de las $p$ elementos de orden $p$. Esto representa para el infinito cylic grupo $\Bbb{Z}$ vacuously, pero también se aplica a cualquier grupo abelian. Por lo tanto creo que es mejor tomar el doble de las penas, es decir, que por cada prime $p$, el cociente $A/pA$ ha pedido en más. Esta es también una instrucción primaria, e implica el obligado en los elementos de orden $p$ en el caso de $A$ es finito. Estoy bastante seguro de que este es un axiomatization de los grupos cíclicos en el lenguaje de abelian grupos. Un grupo abelian se llama pseudo-cíclico si se trata de un modelo de estos axiomas. Así que un ejemplo de un pseudo cíclico abelian grupo sería el $p$-Prüfer grupo de la $p$-ádico de la finalización de $\Bbb{Z}$, o la suma directa de los dos, pero no es una suma directa de dos $p$-Prüfer grupos o dos $p$-ádico terminaciones. Los racionales también parecen ser pseudo cíclico.