Hace$\sum_{i\neq j} \text{Cov}(X_i, X_j) = 0$ implica$\text{Cov}(X_i, X_j) = 0, \,\forall\,i \neq j$

Question

Deje $X_1, \dots, X_n$ ser variables aleatorias, para algún entero $n > 2$. A continuación, $$\text{Var}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i) + \sum_{i \neq j} \text{Cov}(X_i, X_j) $$

Hay un interés natural en el caso especial cuando el $X_i$ son tales que $$\sum_{i \neq j} \text{Cov}(X_i, X_j) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \text{Var}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right) = \sum_{i=1}^n \text{Var}(X_i)$$

Ahora, la condición $$\text{Cov}(X_i, X_j) = 0, \,\forall\,i \neq j\tag{1}$$ clearly implies the condition $$\sum_{i\neq j} \text{Cov}(X_i, X_j) = 0 \;.\tag{2}$$

Es a la inversa verdad?

Alternativamente, alguien puede darme un ejemplo de que la $(2)$ mantiene sino $(1)$ falla?

(Mi conjetura es que el $(2)$ sí no implica la $(1)$, ya que me doy cuenta de que, en general, $\sum_1^{n>1} a_i = 0$ no implica que todas las $a_i$ son cero, pero no puedo entran fácilmente con un ejemplo de este hecho general cuando los sumandos son los términos de $\text{Cov}(X_i, X_j),\;(i\neq j)$.)

(Mis preguntas restantes son discutible si, contrariamente a lo que sospecho, $(2)$ no implica, y es por lo tanto equivalente a, $(1)$.)

Cuando las variables aleatorias $X_1, \dots, X_n$ se describe como "no", ¿significa esto que satisfacen $(1)$, o simplemente que cumplan $(2)$?

Por último, he visto a menudo el término "pares correlacionados", que significa claramente que $(1)$ sostiene, es que hay un nombre para la condición en la $(2)$ (al $(1)$ es no se supone)?

Answer 1

Tener en cuenta tres variables aleatorias con matriz de covarianza $$\left[\begin{matrix}1 & a & 0\\a & 1 & -a\\ 0 & -a & 1\end{matrix}\right]$$ que ha líder principal de los menores de edad $1$, $1-a^2$, y $1-2a^2$ y por lo tanto es positiva definida (como todas las matrices de covarianza debe ser) siempre que $\vert a\vert < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Obviamente esto satisface $$\sum_{i\neq j} \text{Cov}(X_i, X_j) = 0 \tag{2}$ $ , pero no $$\text{Cov}(X_i, X_j) = 0, \,\forall\,i \neq j.\tag{1}$$

Como se señaló en mi (ahora suprimido) comentario, la correlación es un pares de la propiedad y por lo $n$ random variables están correlacionadas significa que $(1)$ mantiene: cada par de las distintas variables aleatorias es la no correlación. Que yo sepa, no hay ningún nombre para las variables aleatorias para que $(2)$ sostiene sino $(1)$ no. En el ejemplo, las variables aleatorias son no se correlacionó significativamente en el sentido de que $Y$ "no puede explicar la" más de la mitad de la variación de cualquiera de las $X$ o $Z$.