Análisis Real de la pregunta $e^{-1/x^2}$

Question

Deje $f$ ser $\mathbb{R}$ $f(x) = e^{-1/x^2}$ $x$ no es igual a $0$. y $f(0)= 0$. Demostrar que $f^{(n)}(0)=0$ todos los $n = 1, 2,3$ ...

Qué necesito para usar expansión de Taylor de la clase de cálculo?

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Usted no puede utilizar una expansión de Taylor: esta función no está representado por una centrada en $0$, precisamente porque $f^{(n)}(0)=0$ $n\in\Bbb Z^+$ . El uso de la definición de la derivada:

$$f\,'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}h=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-1/h^2}}h\;.$$

Para $f^{(n)}(0)$ $n>1$ usted necesita saber algo de la $n$-ésima derivada de $e^{-1/x^2}$. No trate de encontrar una fórmula general para el mismo; en lugar de ello, acaba de demostrar por inducción que la $n$-ésima derivada de $e^{-1/x^2}$ es de la forma $p_n(x^{-1})e^{-1/x^2}$ donde $p_n$ es un polinomio.

Answer 2

El uso de la inducción. Comprobar que es cierto para $n=1$ (esto es fácil). Suponga que tiene de $n$, y, a continuación, calcular los límites para $f^{(n+1)}$ utilizando la definición de la derivada.