Demostrar que $A\cap (B\setminus C)=(A \cap B)\setminus(A \cap C)$.

Question

Problema: Demostrar que $A\cap (B\setminus C)=(A \cap B)\setminus(A \cap C)$.

Yo lo he probado en mis propias: \begin{align} x&\in A\cap (B\setminus C) \\ &\Leftrightarrow (x\in A) \wedge (x\in B\setminus C) \\ &\Leftrightarrow (x\in A) \wedge (x\in B \wedge x\notin C) \\ &\Leftrightarrow (x\in A \wedge x\in B) \wedge (x\notin C) \\ &\Leftrightarrow x\in (A\cap B)\setminus C\\ &\Leftrightarrow \dots \end{align} ¿Cuál sería el siguiente paso ser? Yo no tengo ni idea de cómo llegar de $x\in (A\cap B)\setminus C$$x\in(A \cap B)\setminus(A \cap C)$.

Si yo estoy tratando de hacer el lado derecho, obtenemos \begin{align} x&\in(A \cap B)\setminus(A \cap C)\\ &\Leftrightarrow (x\in A \wedge x\in B)\wedge x\notin (A \cap C)\\ &\Leftrightarrow (x\in A \wedge x\in B)\wedge (x\notin A \wedge x\notin C)\\ &\Leftrightarrow \dots \end{align} ¿Cómo puedo hacer que sea más sencillo?

Answer 1

Esta es la razón por la que me gusta funciones características, consulte esta respuesta.

Con funciones características tenemos

$$\chi_{(A \cap B)\setminus(A \cap C)}= \chi_{A \cap B}-\chi_{A \cap B}\chi_{A \cap C} =\chi_A \chi_B -\chi_A \chi_B\chi_A \chi_C \\ =\chi_A \chi_B -\chi_A \chi_B\chi_C= \chi_A( \chi_B -\chi_{B} \chi_C)=\chi_A \chi_{B \setminus C}=\chi_{(A \cap B \setminus C)} $$

Answer 2

Sustituyó $x\notin A\cap C$$(x\notin A)\land(x\notin C)$, lo cual es incorrecto.

La correcta sería:

$$x\noen A\cap C \\ \Leftrightarrow \neg (x\in A\cap C)\\ \Leftrightarrow \neg (x\in A \de la tierra x\in C)\\ \Leftrightarrow (x\noen A)\lor (x\noen C) $$

Intente, si usted puede terminar con el problema a través de este.

Answer 3

es lo mismo que multiplicar una de las fracciones, Una . B, entonces . C = (A Unión B )\ (A unión C)