Definición de cubierta universal y de cubierta universal de un punto

Question

He leído en la página de la Wikipedia en inglés sobre espacios de cobertura que "un espacio de cobertura es un espacio de cobertura universal si es simplemente conectado", lo que parece una definición real de que un espacio de cobertura es un espacio de cobertura universal.

Sin embargo, he leído en otras fuentes otras definiciones de un espacio de cobertura. Por ejemplo, la página de Wikipedia en francés sobre los espacios de cobertura ( Revêtement ) utiliza la definición 4), infra.

Entonces, ¿cuál de estas definiciones es la "correcta"?

(1) La cartografía $q : D \to X$ es una cubierta universal del espacio $X$ si $D$ está simplemente conectado ;

(2) La cartografía $q : D \to X$ es una cubierta universal del espacio $X$ si para cualquier cobertura $p : C \to X$ del espacio $X$ donde el espacio de cobertura $C$ es conectado, existe un mapa de cobertura $f : D \to C$ tal que $p \circ f = q$ ;

(3) La cartografía $q : D \to X$ es una cubierta universal del espacio $X$ si es una cobertura de Galois y para cualquier cobertura $p : C \to X$ del espacio $X$ donde el espacio de cobertura $C$ es conectado, existe un mapa de cobertura $f : D \to C$ tal que $p \circ f = q$ ;

(4) La cartografía $q : D \to X$ es una cubierta universal del espacio $X$ si es una cobertura de Galois y para cualquier cobertura $p : C \to X$ del espacio $X$ existe un mapa de cobertura $f : D \to C$ tal que $p \circ f = q$ .

Es cierto que $(1) \implies (3) \implies( 2)$ y $(4) \implies (3), (2)$ .

¿Es también cierto que $(1) \implies (4)$ ? $(2) \implies (1)$ ? $(3) \implies (1)$ ?

Por ejemplo, utilizando las definiciones 1), 2) o 3), está claro que "la" cubierta universal de un punto es ella misma, y el mapeo de la cubierta $q : \{ \bullet \} \to \{ \bullet \}$ es la identidad. En efecto:

Utilizando la definición 1), el punto es simplemente conexo, por lo que su cobertura universal es él mismo. Usando la definición 2) o 3), observe que el mapa de identidad $q : \{ \bullet \} \to \{ \bullet \}$ es una cubierta de Galois y que las cubiertas de $\{ \bullet \}$ son todos los espacios discretos no vacíos, por lo que los únicos conectados son los espacios de 1 punto $C$ (el mapa de cobertura es la biyección natural $p : C \to \{ \bullet \}$ ). Por lo tanto, existe un mapa de cobertura $f : \{ \bullet \} \to C$ (que es simplemente $p^{-1}$ ) que satisface $p \circ f = q$ .

Sin embargo, no podemos demostrar con la definición 4) que "la" cubierta universal de un punto es ella misma, ya que si $p : F \to \{ \bullet \}$ es una cubierta no conectada donde $F$ es un espacio discreto de cardinalidad al menos 2, no existe ningún mapa de cobertura $f : \{ \bullet \} \to F$ tal que $p \circ f = q$ (ya que un mapa de cobertura debe ser suryente).

Así que mi pregunta final es :

¿Es la cubierta universal de un espacio de 1 punto realmente un espacio de 1 punto?

Gracias.

Answer 1

Es un poco difícil decir "qué definición es la correcta", ya que hay algunas definiciones que son más apropiadas por depender del contexto (véase (*)), pero permítanme hacer una observación.

Una cubierta universal es esencialmente una solución a un problema de propiedad universal. Siendo su nombre (universal), me parece que la definición natural es la que hace que realmente sea... universal.

¿Qué propiedad universal satisface?

Considere la categoría $\mathcal{C}$ que tiene como objetos los mapas de cobertura desde espacios topológicos puntuales a un espacio topológico puntual fijo $(X,x_0)$ . Es decir, los objetos son $p:(Y,y_0) \to (X,x_0)$ (más adelante). Y los morfismos son mapas de cobertura $c: (Y_1,y_1) \to (Y_2,y_2)$ haciendo que el siguiente diagrama se conmute $$\begin{array}{ccccccccc} & & (Y_1,y_1) \\ & \swarrow{c} & \downarrow{p_2} \\ (Y_2, y_2)& \xrightarrow{p_1} & (X,x_0). \end{array}$$ Queremos un cubierta universal para ser un objeto inicial en esta categoría. ¿Por qué? Una cubierta universal debe cubrir cualquier cubierta, y eso es precisamente lo que capta la propiedad anterior.

Si tomamos el supuesto anterior como definición, ¿cómo lo conciliamos con la definición habitual de cubierta simplemente conectada? Pues bien, consideremos el siguiente teorema:

Teorema: [Teorema de la elevación] Sea $p:(Y,y_0) \to (X,x_0)$ sea un mapa de cobertura. Supongamos que $W$ está conectada por un camino y localmente por un camino y que $f: (W,w_0) \to (X,x_0)$ es un mapa dado. Entonces, existe un levantamiento de $f$ a $(Y,y_0)$ cubriendo $f$ si y sólo si $f_{\#} \pi_1(W,w_0) \subset p_{\#}\pi_1(Y,y_0)$ . Además, dicha elevación es única.

Un momento de reflexión nos dice entonces que si $\pi_1(W,w_0)$ es trivial en este teorema, entonces siempre existe un levantamiento. Otro momento de reflexión nos muestra entonces que si existe un objeto en nuestra categoría $\mathcal{C}$ que tiene como espacio de cobertura un espacio simplemente conexo, entonces es la cobertura universal (con un pequeño detalle: habría que demostrar que el levantamiento es efectivamente un mapa de cobertura, pero esto es cierto).

Ahora, algunos comentarios.

Para garantizar la unicidad de las cosas, tenemos que suponer que los espacios son puntuales. Debido a la hipótesis del teorema del levantamiento, también necesitamos que los espacios estén conectados por caminos y localmente por caminos. Si queremos una teoría "limpia" (es decir, tratar de minimizar el replanteamiento recurrente de las hipótesis), una buena solución es agrupar todas esas cosas en una definición. Por ejemplo, eso es lo que hace Bredon en su libro de topología y geometría:

Definición: Un mapa $p: X \to Y$ se llama mapa de cobertura (y $X$ se llama espacio de cobertura de $Y$ ) si $X$ y $Y$ son Hausdorff, conectada por arcos, y localmente conectada por arcos etc.

OBS: Obsérvese que "arcwise connected" significa "path-connected" para Bredon.

Obsérvese ahora el fenómeno al que he aludido al principio: El propio Bredon "cambia" de definición más tarde con un propósito concreto: En la página $342$ , afirma:

"Por conveniencia, usamos la palabra 'cubierta' en la Proposición $7.6$ para referirse a todo lo que se define como espacio de cobertura, excepto los requisitos de conectividad".

(*)Así que esta respuesta acaba por no responder a nuestra pregunta. Pero eso es porque creo que es incontestable: algunas definiciones son mejores que otras en contextos diferentes, necesitando menos o más de ellas. La situación es similar a cómo algunos textos definen compacto como "compacto y Hausdorff", o algunos textos definen "anillo" con unidad o no, o "espacio regular" implicando Hausdorff o no, etc.

Sin embargo, para responder a su última pregunta: Sí, la cubierta universal de un punto es un punto.