Gracias a Mick para el enfoque.
Dado:
$\sigma = 4cos^2(\pi/7) - 1 $ , $\rho = 2cos(\pi/7)$
La ley de los Cosenos
$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)
$$
Ley de los Senos $$a /sin(A) = b / sin(B) = c/sin(C)$$
Desde $ \sigma $ $\rho$ son dadas, se puede sustituir por a, b, y c para determinar el ángulo C (que voy a llamar a $\theta$ a partir de aquí)
$$ \sigma^2 = \rho^2 + \rho^2 - 2(\rho)(\rho)cos(\theta) $$
$$\sigma^2 = 2\rho^2 - 2\rho^2cos(\theta) $$
$$ \sigma^2 / 2\rho^2 = 1 - cos(\theta)$$
$$ cos(\theta) = 1 - \sigma^2/2\rho^2$$
$$ \theta = arccos(1 - \sigma^2/2\rho^2)$$
$$ \theta = arccos(1 - ((4cos^2(\pi/7)-1)^2/2(2cos(\pi/7))^2))$$
$$ \theta \approx 1.3463968515384828164839900214055012360845011711607596$$
Ahora, con $\theta$, y el conocimiento de que el ángulo interior de un regular heptagon es $5\pi/7$, podemos usar la ley de los senos para determinar la estrella azul del lado de longitud. El triángulo, que está formada por la gran heptagon del lado de la longitud y el color azul estrella de las longitudes de los lados, es isósceles, los ángulos básicos (voy a llamar a $\gamma$)$(5\pi/7 - \theta)/2$. El ángulo del vértice es equivalente a $\pi - (5\pi/7 - \theta)$, y voy a llamar a esta $\beta$. Sabemos que el lado rojo de la longitud es 1. Por la ley de los senos, la estrella azul de longitud lateral (voy a llamar a esta $\delta$).
Esto nos da:
$$\delta / sin(\gamma) = 1 / sin(\beta) $$
$$\delta = sin(\gamma)/sin(\beta) $$
$$\delta = sin(1/2(5\pi/7-arccos(1-(4 cos^2(\pi/7)-1)^2 /(2(2cos(pi/7))^2))))/sin(2\pi/7+arccos(1-(4 cos^2(pi/7)-1)^2/(2 (2 cos(pi/7))^2))) $$
$$\delta \approx 0.5549581320873711914221948710064104810672888624709100 $$
De vuelta a la ley de los cosenos un tiempo final para encontrar la longitud estamos principalmente interesados en. Esta vez, $\theta$ es conocido, y las longitudes de los lados congruentes $\delta$ son conocidos. Vamos a llamar a la respuesta final, la pequeña heptagon lado de longitud $x$.
$$ x^2 = \delta^2 + \delta^2 - 2(\delta)(\delta)*cos(\theta)
$$
$$ x^2 = 2\delta^2 - 2\delta^2cos(\theta)
$$
$$ x = (2\delta^2(1-cos(\theta)))^.5
$$
$$ x = \delta(2-2cos(\theta)^.5
$$
Por lo tanto, $x$ es exactamente:
$$ (-1/4 (4 cos^2(\pi/7)-1)^2 s^2(\pi/7))^.5(pecado(1/2 (5\pi/7-arccos(1-(4 cos^2(\pi/7)-1)^2/(2 (2 cos(\pi/7))^2)))))/(el pecado(14\pi/49+arccos(1-(4 cos^2(\pi/7)-1)^2/(2 (2 cos(\pi/7))^2))))
$$
o para fines prácticos:
$$ x \approx 0.692021471630095869627814897002069140197260599321894 $$
