Este es realmente solo un comentario que es demasiado largo. Espero que, una vez que entienda completamente lo que estás preguntando y tengamos una terminología uniforme, alguien pueda responder a tu pregunta (al menos específica).
El ángulo diedro es el ángulo en el que se encuentran dos planos; para los poliedros, es el ángulo en el que se encuentran dos caras. Todos los poliedros, convexos o no, tienen ángulos diedros.
Sin embargo, debido a la forma en que se mide, el ángulo diedro puede distinguir poliedros convexos de no convexos: Siempre medimos el ángulo diedro como el ángulo dentro del polígono.
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En la imagen de arriba, imagina que las líneas son alturas de las caras de triángulos (y no podemos ver las caras; son perpendiculares a nuestra línea de visión). Entonces, el ángulo $\varphi$ corresponde a un ángulo diedro de una porción convexa de nuestro poliedro; los ángulos todos "se inclinan hacia" el interior del poliedro. Este sería un encuentro convexo de caras, ya que tenemos $\varphi < \pi$.
Sin embargo, para un poliedro no convexo, los ángulos pueden "inclinarse hacia afuera" desde el interior del politopo. En este caso, en realidad sería $2\pi - \varphi$ el ángulo diedro interior, y tendríamos $\varphi > \pi$.
Así, podemos caracterizar politopos convexos en base a sus ángulos diedros interiores: Todos son menores que $\pi$.
Hay otra medida de ángulo para poliedros que puede (solo a veces) detectar una falta de convexidad: El defecto angular. Para calcular el defecto angular en un vértice, sumamos todos los ángulos de las caras que conforman el vértice, y restamos esta suma de $2\pi$. Por ejemplo, en un tetraedro regular, tres caras se encuentran en cada vértice, y los ángulos de cada cara son $\pi/3$; por lo tanto, nuestro defecto angular es $2\pi - 3(\pi/3) = \pi$. En un dodecaedro regular, el defecto angular es $2\pi - 3(3\pi/5) = 2\pi - 9\pi/5 = \pi/5$.
Solo menciono el 'defecto angular' porque no logro entender tu frase de que "los ángulos diedros son uniformes en cada vértice". Hasta donde sé, en el espacio $3D$, los ángulos diedros realmente solo se aplican a los bordes (donde solo dos caras se encuentran), y no a los vértices.
Para el PD de Catalán, aparentemente el ángulo diedro es constante para todos los bordes. Sospecho que el defecto angular no es constante, y puede ser una de dos cosas diferentes, pero no he hecho ningún cálculo.
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Ya que haces referencia a los bordes "más largos" y "más cortos" de las caras triangulares, entiendo que te refieres específicamente a la versión de Sólido Catalan del PD; ¿el que es dual al icosaedro truncado? (El que Wikipedia utiliza para la imagen principal, en verde)
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¡Sí! Me refiero a la versión Sólida en Catalán.
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Ahh -- Creo que confundí la forma roja debajo de la descripción principal como otra representación del pentakis dodecaedro, cuando es, de hecho, un deltahedron.
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En realidad es "otro" PD: El nombre solo se refiere a agregar pirámides pentagonales a todas las caras de un dodecaedro regular; tanto el rojo como el verde lo hacen. Sin embargo, las alturas de las pirámides difieren. Por lo tanto, geométricamente, no existe tal cosa como "el" PD, sino toda una clase de PD que se 'ven' iguales (equivalentes combinatoriamente), pero no son geométricamente iguales (no son versiones escaladas entre sí).
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La pregunta sigue en pie -- ¿tener un ángulo diedro implica convexidad uniforme y ángulo uniforme entre dos planos que comparten un borde en el poliedro?