covarianza de integral de browniano

Question

¿Qué es la covarianza del proceso $X(t) = \int_0^t B(u)\,du$ $B$ ¿Dónde está un movimiento browniano estándar? es decir, deseo encontrar $E[X(t)X(s)]$, $0<s idea=""></s>

¡Le agradece mucho su ayuda!

Answer 1

$$\mathbb E(X(t)X(s))=\int_0^t\int_0^s\mathbb E(B(u)B(v))\,\mathrm dv\,\mathrm du=\int_0^t\int_0^s\min{u,v}\,\mathrm dv\,\mathrm du$ $ Editar: como @TheBridge en un comentario, el cambio del orden de integración es válido por el teorema de Fubini, desde $\mathbb E(|B(u)B(v)|)\leqslant\mathbb E(B(u)^2)^{1/2}\mathbb E(B(v)^2)^{1/2}=\sqrt{uv}$, que uniformemente se limita el dominio $[0,t]\times[0,s]$ por lo tanto integrable en este dominio.