Antecedentes
Estoy tratando de cruzar el puente hacia las matemáticas de nivel superior y la informática, pero aprender a pensar matemáticamente ha sido un reto para mí. Entiendo que se basa en gran medida en los conceptos de la lógica, por lo que he decidido aprender la lógica al mismo tiempo. Estoy utilizando la 3ª edición de Gensler de Introducción a la lógica . Sus programas y métodos me resultan útiles para la autoinstrucción. También me estoy abriendo camino a través de Rosen's Matemáticas discretas y sus aplicaciones 7ª ed., y he leído y sigo consultando la obra de Hammack Libro de las pruebas .
El origen de mi confusión
Varias técnicas de demostración se basan en formas lógicas clásicas, como el condicional, o el bicondicional, etc. Así que, para mejorar mi capacidad de trabajar con ideas y objetos matemáticos más abstractos, pensé que me ayudaría el razonamiento formal. Pero me di cuenta de que algunas cosas son diferentes. La notación es lo primero. Así que Gensler utiliza $\supset$ para una declaración "si... entonces". Aquí hay más ejemplos,
Gensler $\ \ P \supset Q\ \ $ vs ( $P \implies Q\ \ $ Rosen & Hammack )
Gensler $\ \ P \equiv Q\ \ $ vs ( $\ \ P \iff Q\ \ $ Rosen & Hammack )
Gensler $\ \ (x)Ix\ \ $ vs ( $\ \forall x P(x)\ \ $ Rosen & Hammack )
El condicional, el bicondicional y las conectivas más simples como "y", "o" y "no", me parecen bien. Entiendo que "y" tiene muchas notaciones diferentes. Pero cuando se trata de lógica cuantitativa, me pierdo totalmente. He aquí cómo,
Gensler:
Desarrolla un lenguaje cuantitativo introduciendo los cuantificadores universal y existencial. Pero nunca menciona los predicados, aunque parece que eso es lo que hace. Así que dirá $Ir$ para "Romeo es italiano, o $(x)Ix$ para "Para todo x, x es italiano". Explica que hay que "usar las mayúsculas para los términos generales, que describen o ponen en una categoría" (p. 182), mientras que las minúsculas deben usarse para los términos singulares que señalan a una persona o cosa concreta. Contrasta con Rosen a la hora de explicar los predicados.
Rosen:
Dice que dejemos $P(x) = x > 3$ . El predicado es el " es mayor que 3 " parte que "... se refiere a una propiedad que el sujeto del enunciado puede tener" (p. 37), mientras que " $x$ " es el objeto de la declaración. Así que parece que Rosen y Gensler utilizan el concepto igual, pero uno lo llama predicado y el otro concatena letras grandes y pequeñas con cuantificadores, pero contextualmente parecen ser lo mismo.
La razón por la que esto es confuso (aunque importante) para mí, es que encuentro confusos los libros de matemáticas sobre las traducciones de predicados y el establecimiento de un enunciado cuantitativo complejo, y todas las reglas de inferencia y equivalencias lógicas. Pero cuando utilizo el enfoque de Gensler, puedo traducir sin problemas, y entiendo mejor cómo utilizar las reglas. Así que si puedo utilizar su enfoque, y es sólo una cuestión de notación, entonces me gustaría construir mi intuición de esa manera. Así que,
- ¿Estoy haciendo esto mal? ¿Es el problema que estoy teniendo con las inferencias las equivalencias, la notación, las relaciones en la lógica frente a las matemáticas, porque estoy aplicando lógicas dispares?
- ¿O se trata más bien de una diferencia del tipo "primo newtoniano frente a Leibniz" en la notación de las derivadas?
- ¿Realmente hay que memorizar todas esas equivalencias e inferencias lógicas? ¿O es como la trigonometría, en la que, dado que hay un número infinito de identidades, es mejor aprender las más esenciales para poder derivar todas las demás?
- ¿Cómo me recomiendan que proceda? ¿Estoy perdiendo el tiempo aprendiendo estas cosas (aunque todavía quiero aprender el tipo de lógica clásica de Gensler que se encuentra en la filosofía), pero si es inapropiado para mi objetivo inmediato de mejorar la demostración de ideas matemáticas y de cs, y entender las matemáticas de nivel superior, prefiero enfocar mis energías hacia estrategias más eficaces. Así que, por ejemplo, he empezado a leer el libro de Smullyan Guía para principiantes de la lógica matemática y hasta ahora he encontrado la exposición muy esclarecedora y útil. Pero me temo que una vez que llegue a las partes sobre la lógica, va a hacer lo que cualquier otro libro de pruebas matemáticas hace en esas secciones y las va a cubrir con un montón de explicaciones insatisfactorias y superficiales que me dejan pensando, "pero... ¿por qué?" ¿Es la lógica matemática una colina completamente diferente a la que he estado tratando de escalar? ¿Y debería centrarme en un libro específico de lógica matemática como el de Smullyan para lograr mi objetivo de entender y posiblemente contribuir algún día a las matemáticas de nivel superior?
Muchas gracias por haber leído hasta aquí, y por cualquier ayuda, estrategia, consejo, respuesta, etc. que aportéis. Estoy eternamente agradecido.
