Definición de Traza del Operador Lineal

Question

La traza de un operador lineal $f$ puede definirse como la traza de la matriz $A$ representando a $f$ con respecto a alguna base $B$ . Sin embargo, el rastro no depende de la base elegida. Esto me sugiere que hay alguna definición de la traza de $f$ independiente de las matrices (y por tanto independiente de las coordenadas). Alguna sugerencia sobre cómo podría definir $\mathrm {tr}(f) $ sin definirlo como $\mathrm {tr}([f]_B)$ ?

Answer 1

Otra definición común es la suma de valores propios (en el cierre algebraico), contados con multiplicidad. Como los valores propios son algebraicos (satisfacen $A$ ) podemos invocar la teoría de Galois para demostrar que la suma, al ser invariante, está en el campo escalar original. Tensando el espacio contra la clausura algebraica del campo escalar ("extensión de escalares") y escribiéndolo como una suma de eigespacios generalizados, correspondientes a bloques de Jordan de $A$ podemos demostrar que la suma de los valores propios es igual a la suma de las entradas diagonales de $A$ en alguna base (por supuesto, después de extender los escalares), que luego podemos demostrar que es invariante bajo el cambio de base.

Otra forma es si escribimos ${\rm tr}:{\rm End}(V)\cong V\otimes_F V^*\to F$ , donde $v\otimes f\mapsto f(v)$ de forma obvia, y la expresión $V^*$ denota el espacio vectorial dual (es decir $\hom_F(V,F)$ ). Eligiendo una base ordenada podemos demostrar que esto es lo mismo que sumar las entradas diagonales en esa base. Esto se ajusta a la perspectiva de diagramas de cadena un bonito lenguaje visual para describir hechos tensoriales, incluyendo currying y ${\rm tr}(AB)={\rm tr}(BA)$ . Probar las identidades significa mover los hilos, ¡yay!.

Answer 2

Otra forma fácil de definir la traza es a través del cálculo: la traza de un operador lineal es la divergencia de ese operador lineal con respecto a su argumento lineal.

De hecho, este enfoque basado en el cálculo también produce otro objeto característico: el rizo (generalizado) de un operador lineal es un bivector, correspondiente a la parte antisimétrica de ese operador lineal.

Answer 3

Varias buenas respuestas aquí. Hay otra manera, también, que utiliza el siguiente lema. Sea $k$ sea un campo, y que $k^{n\times n}$ denotan el espacio de $n \times n$ matrices con coeficientes en $k$ .

Lema El núcleo del operador de traza, considerado como un mapa lineal $k^{n\times n} \to k$ es el espacio de los conmutadores, $\mathrm{Com}(k,n) = \{AB - BA : A, B \in k^{n\times n}\}$ .
Prueba Hay varias pruebas para esto; una buena de Kahan es ici .

Definición El operador de rastreo $\mathrm{tr}:k^{n\times n} \to k$ es el único mapa lineal tal que $\mathrm{Ker}(\mathrm{tr}) = \mathrm{Com}(k,n)$ y $\mathrm{tr}(I) = n$ , donde $I$ denota el $n \times n$ matriz de identidad.

También hay algunas buenas definiciones aquí 1 . Esto incluye ver la traza como el único operador tal que $\mathrm{tr}(|u \rangle \langle v |) = \langle u | v \rangle$ y como imagen del mapa de identidad $I$ bajo un cierto isomorfismo canónico $\mathrm{End}(V) \to (\mathrm{End}(V))^*$ .