Cuántos árboles en un bosque?

Question

Hace algún tiempo conocí a un guardabosque. Él dijo que sólo hay alerces y abetos en su bosque. También dijo que hay exactamente $10$ abetos en la distancia de 1 km de cada una de alerce. Luego, él dijo que hay más alerces de abetos en su bosque. Se puede estar a derecho?

Answer 1

Bonito número teórico de la cuestión en el disfraz! No se mucho de un botánico voy a llame alerces X y abetos Y o no voy a ser capaz de distinguirlos. También Me tomar ", argumentó" en la pregunta significa "valer", ya que uno no puede, obviamente, no argumentan que no debe ser más alerces de árboles de abeto, pero no puede ser.

Aquí es una solución, o más bien un método para construir una solución. Voy a tomar el Y los árboles para formar un gran cuadrado de la cuadrícula, las distancias entre neigbours 2 unidades (la unidad de longitud será determinada). En las unidades de estos árboles por lo tanto ocupan los puntos con ambas coordenadas incluso, a llenar una gran región alrededor del origen (vamos a ver sobre el límite del bosque más adelante).

Habrá una X árbol en $(2a+1,2b)$ y a las $(2a,2b+1)$ para cualquier enteros $a,b$ para que esto no viene demasiado cerca del límite de la Y árboles.

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Dentro de la zona ocupada por X árboles que son dos veces tan numerosas como las Y los árboles, así que podemos hacer la X árboles ganar fuera en general, haciendo que el bosque lo suficientemente grande (la ventaja de que X aumenta con el área, mientras que en el límite, donde la X han detenido, pero aún no la Y, que crece sólo con la circunferencia).

Ahora el reto es encontrar un radio tal que en un círculo alrededor de cada una de las X hay exactamente 10 Y árboles. Si esto funciona para el X árbol en $(1,0)$, el trabajo de la traducción y de la diagonal de la reflexión de la simetría para todo X, siempre y cuando nos deje de plantación X cuando viene tan cerca de la final de la selva que el círculo sobresale en el exterior.

Ahora tenemos nuestro número teórico de la cuestión: para que entero $N$ (la plaza de el radio) hay exactamente 10 entero soluciones de $(x,y)$ a de la ecuación $(2x-1)^2+(2y)^2=N$ (dando un árbol Y en $(2x,2y)$, a distancia$\sqrt{N}$$(1,0)$)? Obviamente $N$ debe ser impar, y es fácil ver que el abandono de la paridad condición en las dos plazas sumando a $N$ será el doble de la cantidad de soluciones, cada (raro,incluso) de la solución dando una (par,impar) solución de el intercambio. Así que tenemos que tener $N$ tal que $k^2+l^2=N$ tiene exactamente 20 entero de soluciones de $(k,l)$. Yo reclamo el más pequeño de tales $N$$N=5^4=625$. Que de hecho, es una solución que es fácil de ver, con 5 soluciones en positivo cuadrante (tomado de incluir el el eje x positivo, pero no el eje de las y): $(25,0)$, $(24,7)$, $(20,15)$, $(15,20)$ y $(7,24)$, y el resto de las soluciones se obtienen a partir de estos mediante la aplicación de un cuarto de vuelta.

Para explicar el "más pequeño de tales $N$" parte, he aplicado a la siguiente teorema 2.3.12 de que en el curso de aritmética que me dio el año pasado (en francés; que no tengo otra referencia a la mano para la declaración completa, pero su primera parte es bien conocido, y el resto es fácil una vez que usted sabe lo suficiente acerca de los enteros de Gauss para demostrar la primera parte):

Teorema. Deje $N$ ser un entero positivo, y $N=p_1^{m_1}\ldots p_l^{m_l}$ su descomposición en factores primos. Una condición necesaria y suficiente para la existencia de enteros $a,b$ $N=a^2+b^2$ es que por cada $p_i$ que es congruente a $3$ modulo $4$ el correspondiente exponente $m_i$ ser incluso. Además, el número de de soluciones está dado por $$4 \prod_{\kern-14pt p_i\equiv1\pmod4\kern-14pt}(m_i+1).$$

Por lo que el número es siempre divisible por 4 (por razones obvias) y para el otro factores primos que son de 1 modulo 4 son útiles; por un factor de 5, uno necesita un exponente $m_1=4$, y el menor caso prime es $p_1=5$, de donde $N=5^4=625$. Las soluciones actuales son fácilmente constucted el uso de Gauss entero la multiplicación de los elementos $2\pm\mathbf{i}$ norma $\sqrt5$.

Todo lo que queda es elegir la unidad de medida a $\frac1{25}\,\textrm{km}=40\,\textrm{m}$, y para encontrar un tamaño de el bosque suficientemente grande como para que el X superan en número a los Y aunque se deje a un kilómetro antes de la el borde de la superficie plantada con árboles (deja como ejercicio).

Se puede argumentar que cuando los árboles están en menos $40$ metros de distancia, uno no es razonable hablar de un bosque. Me gustaría aproximadamente supongo que un realista distancia entre los árboles a ser en algún lugar entre el $1$ $5$ metros, lo que significa que necesitamos $N$ a ser más grandes, y, en particular, $\sqrt{N}$ (que es necesariamente entero para una solución) en el rango de$200$$1000$. Esto nos deja un montón de posibilidades para $\sqrt{N}$, que puede ser cualquier número impar cuyo conjunto de factores primos $p$ $p\equiv1\pmod4$ es un singleton, y que el primer factor tiene multiplicidad $2$. Esto deja a las posibilidades $225$, $275$, $475$, $507$, $525$, $575$, $675$, $775$, $825$, $867$. Tomando $867$ como un valor interesante (dando una distancia entre árboles de $\frac{1000}{867}\approx 1.15$ medidor) las soluciones fundamentales de $k^2+l^2=N=867^2=751689$ $(k,l)$ uno de $(867,0)$, $(765,408)$ y $(720,483)$; el $17$ otras soluciones siga estos por obvias simetrías.

Answer 2

Dicen que hay exactamente 10 árboles de abeto, todo lo que crece en el mismo punto. Y un millón de alerces, todas exactamente a 1 km desde ese punto.

Answer 3

No una respuesta, pero creo que algunos de nivel superior es necesaria una aclaración aquí. A partir de los comentarios, parece que la interpretación es a lo que probablemente era la intención:

1. Para cada uno de alerce, el número de árboles de abeto que son exactamente a 1 km de es exactamente 10.
2. Hay más alerces de abetos.

Y la pregunta es: ¿Es esto posible?