Sí; usted tiene que encontrar la clase conjugacy de cada elemento y la suma de sus tamaños.
(Usted está explícitamente tomar un grupo de orden $8$; hay otras formas para determinar la clase de ecuación para este grupo con algunas de las técnicas; pero no hacemos uso de estas técnicas, ya que el grupo está explícitamente conocido aquí.)
En el caso de $D_{10}, S_4$, el elegante enfoque sería la siguiente: en la familia de diedro grupos, hay algunos patrón de clases conjugacy, que nos permite escribir la clase de ecuación. Del mismo modo, en la familia de grupo simétrico, la clase conjugacy tamaños de los elementos es bien conocido por una combinatoria de la fórmula. Uno puede obtener de la clase ecuación para la familia. En general, para un grupo finito, no hay forma elegante de clase ecuación, que funciona para todos (a Excepción de la determinación de las clases de forma explícita).
Para el grupo específico entre diedro o cuaterniones, alguna información sobre el grupo podría ayudar mucho para obtener la clase de ecuación. Por ejemplo, $D_8$, que no es abelian grupo del primer poder de la orden ($8$); su centro debe ser no trivial, por lo tanto $|Z(D_8)|\geq 2$. Si $|Z(D_8)|=4$ o $8$ $D_8/Z(D_8)$ será cíclico, y $D_8$ será abelian contradicción, por lo $|Z(D_8)|=2$.
Para $x\in D_8\setminus Z(D_8)$, el centralizador contendrá $x$$Z(D_8)$, por lo tanto su orden sería, al menos,$4$. Si es $8$ $x$ será central, contr. Por lo tanto centralizador de $x$ tiene el tamaño de $4$, es decir, su índice de grupo es $2$, es decir, el tamaño de la clase conjugacy es $2$, y es cierto para cualquier no-central $x$. Así que la clase ecuación es $8=2+2+2+2$.
Pero en esta ilustración, no estamos utilizando la presentación de $D_8$; simplemente estamos usando el hecho de que no es abelian grupo de orden $8$. Así, pequeña información acerca de grupo puede ayudar a obtener la clase de ecuaciones con alguna técnica.
