Demostrar que $g'(t)$ desaparece para $t=\frac{3}{2}$ y $2,g(t)$ es máxima cuando $t=\frac{3}{2}$ y $g(t)$ es mínimo en $t=1.$

Question

Dejemos que $f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} x+1, & 0 \leq x \leq 1 \\ \\ 2x^2-6x+6, & 1 < x \leq 2 \\ \\ \end{array} \right.$ y $g(t)=\int_{t-1}^{t}f(x)dx$ para $t\in[1,2]$
Entonces demuestre que $g'(t)$ desaparece para $t=\frac{3}{2}$ y $2,g(t)$ es máxima cuando $t=\frac{3}{2}$ y $g(t)$ es mínimo en $t=1.$

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He encontrado $g'(t)=f(t)-f(t-1)$
Poner $g'(t)=f(t)-f(t-1)=0$
Como $t\in[1,2]$ así que $f(t)=2t^2-6t+6$ y como $t-1\in[0,1]$ así que $f(t-1)=(t-1)+1=t$
$g'(t)=2t^2-7t+6=0$ da $t=\frac{3}{2}$ y $2$ .

$g''(t)=4t-7$

$g''(\frac{3}{2})=-1$ Así que $g(t)$ es máxima cuando $t=\frac{3}{2}$
Pero no entiendo cómo $g(t)$ es mínimo en $t=1.$

Por favor, ayúdame.

Answer 1

Se busca el máximo absoluto de una función continua $g(t)$ en un intervalo cerrado.

Has encontrado dos puntos críticos $\frac{3}{2}$ y $2$ .

El siguiente paso es comprobar los valores de $g(t)$ en estos puntos críticos, más los puntos límite $1$ y $2$ .

Después de comparar sus valores como los siguientes, puedes encontrar el máximo y el mínimo:

$$g\left(\frac{3}{2}\right)=\int^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} f(x)\, dx\\ g\left(2\right)=\int^{2}_{1} f(x)\, dx\\ g\left(1\right)=\int^{1}_{0} f(x)\, dx$$