Explica por qué hay un morfismo único $(\phi\times\phi):G\times G\to H\times H$ .

Question

Dejemos que $\phi:G\to H$ sea un morfismo de la categoría $C$ con productos. Explica por qué hay un morfismo único $$(\phi\times\phi):G\times G\to H\times H$$

¿Cómo es $G\times G$ definido en una categoría, donde $G$ ¿es un objeto de la categoría? Motivación: $A\times B$ es el objeto universal de la categoría de objetos que corresponde a ambos $A$ y $B$ . Es $G\times G$ el objeto universal en la categoría de objetos que mapea a $G$ ? Si ese es el caso, ¿no sería $\underbrace{G\times G\times\dots\times G}_{\text{n times}}$ ser también un objeto universal?

Además, ¿cómo es $(\phi\times\phi)$ definidos en una categoría? Me parece que los productos se definen sólo para los objetos. ¿Hay alguna categoría con morfismos como objetos que deba considerar aquí?

Answer 1

La idea es la siguiente: Para definir un morfismo $f:A \rightarrow B\times C$ en un producto es exactamente lo mismo que definir morfismos $f_b:A \rightarrow B$ y $f_c:A \rightarrow C$ . Así que tienes que elaborar un mapa $\phi_L:G \times G \rightarrow H$ y $\phi_R:G \times G \rightarrow H$ .

Una de las otras propiedades de un producto $A \times B$ es que viene con mapas de proyección $\pi_L:A \times B \rightarrow A$ y $\pi_R:A \times B\rightarrow B$ . Esto significa que $G \times G$ también tiene estos mapas de proyección. ¿Puedes ver cómo reunir toda esta información?

Sugerencia extra: Puede que te resulte más fácil, o no, ver lo que ocurre si coges los mapas $f:A \rightarrow B$ y $g:C \rightarrow D$ y definir $f \times g:A \times C \rightarrow B \times D$ y especializarlo en su caso.

Answer 2

Sí, también se puede imaginar el llamado categoría de flechas $C^\to$ de $C$ que tiene los morfismos de $C$ como objetos y los cuadrados conmutativos como morfismos (digamos de la flecha superior del cuadrado a la flecha inferior).

Ahora, si $\phi:A\to B,\ \psi:C\to D$ entonces $\phi\times\psi$ será una flecha $A\times C\to B\times D$ .
En $\mathcal Set$ (y en realidad en muchas otras categorías) sería el mapeo $(a,c)\mapsto (\phi(a),\,\psi(c))$ .
Para su construcción categórica, véase la otra respuesta.

Si $(u,v):\alpha\downarrow\phi$ en la categoría de flechas (es decir $u,v$ también son flechas en $C$ y $v\alpha=\phi u$ ) $\,$ y $(w,z):\alpha\downarrow\psi$ , entonces utiliza la propiedad del producto en $C$ para ambos $A\times C$ y $B\times D$ para definir el cuadrado $\alpha\to(\phi\times\psi)$ que hace que todo el diagrama sea conmutativo.