Un concurso de matemáticas integral: $\int_1^\infty \frac{\text{d}x}{\pi^{nx}-1}$

Question

Mi escuela lleva a cabo un concurso de matemáticas que tiene problemas, que varían de un nivel a otro. Nadie logró resolver este en particular:

$$\int_1^\infty \frac{\text{d}x}{\pi^{nx}-1}$$

En términos de $n$

Me preguntaba si hay una solución para esta integral?

Answer 1

Poner $u = \pi^{nx}-1$

Se llega a un punto donde la integral se

$$I = \frac{1}{n\log\pi}\int \left[\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}\right]$$

$$I = \frac{1}{n\log\pi} \ln\left(\frac{u}{1+u}\right)$$

Evaluar y obtener el resultado.

Answer 2

Mathematica me dijeron que no hay ninguna forma cerrada, pero he encontrado esta trabajando fuera de la integral:

Suponga que $m$ $n$ son positivas $\to m,n\in\mathbb{R^+}$:

$$\text{I}=\int_{1}^{\infty}\frac{1}{\pi^{nx}-1}\space\text{d}x=$$ $$\lim_{m\to\infty}\int_{1}^{m}\frac{1}{\pi^{nx}-1}\space\text{d}x=$$

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Sustituto $u=nx$$\text{d}u=n\space\text{d}x$:

Esto le da un nuevo límite inferior $u=n\cdot1=n$ y el límite superior $u=n\cdot m=mn$:

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$$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n}\int_{n}^{mn}\frac{1}{\pi^{u}-1}\space\text{d}u=$$

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Sustituto $s=\pi^u$$\text{d}s=\pi^u\ln(\pi)\space\text{d}u$:

Esto le da un nuevo límite inferior $s=\pi^{n}$ y el límite superior $s=\pi^{mn}$:

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$$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\ln(\pi)}\int_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\frac{1}{s(s-1)}\space\text{d}s=$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\ln(\pi)}\int_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\left(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}\right)\space\text{d}s=$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\ln(\pi)}\left(\int_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\frac{1}{s-1}\space\text{d}s-\int_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\frac{1}{s}\space\text{d}s\right)=$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\ln(\pi)}\left(\int_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\frac{1}{s-1}\space\text{d}s-\left[\ln\left|s\right|\right]_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\right)=$$

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Sustituto $p=s-1$$\text{d}p=\text{d}s$:

Esto le da un nuevo límite inferior $p=\pi^{n}-1$ y el límite superior $p=\pi^{mn}-1$:

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$$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\ln(\pi)}\left(\int_{\pi^{n}-1}^{\pi^{mn}-1}\frac{1}{p}\space\text{d}p-\left[\ln\left|s\right|\right]_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\right)=$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{1}{n\ln(\pi)}\left(\left[\ln\left|p\right|\right]_{\pi^{n}-1}^{\pi^{mn}-1}-\left[\ln\left|s\right|\right]_{\pi^{n}}^{\pi^{mn}}\right)=$$ $$\lim_{m\to\infty}\frac{\ln\left|\pi^{mn}-1\right|-\ln\left|\pi^{n}-1\right|-\ln\left|\pi^{mn}\right|+\ln\left|\pi^{n}\right|}{n\ln(\pi)}=$$ $$\frac{1}{n\ln(\pi)}\lim_{m\to\infty}\left(\ln\left|\pi^{mn}-1\right|-\ln\left|\pi^{n}-1\right|-\ln\left|\pi^{mn}\right|+\ln\left|\pi^{n}\right|\right)=$$ $$\frac{1}{n\ln(\pi)}\lim_{m\to\infty}\ln\left(\frac{\pi^n-\pi^{n-mn}}{\pi^n-1}\right)=\frac{\ln\left(1+\frac{1}{\pi^n-1}\right)}{n\ln(\pi)}$$