¿Por qué es que la siguiente igualdad sea verdadera ?
$$\sum\limits_{h,k\atop p|hk\implies p\le X}\frac{\mu(h)\mu(k)}{h\cdot k}(h,k)=\prod\limits_{p\le X}\left(1-\frac1p\right)$$
La notación $p|hk\implies p\le X$ significa que $h,k$ están compuestas de números primos por debajo de $X$ $(h,k)$ es el mcd de los números
Tal vez es relativa a la de euler-phi función ?
Respuesta incompleta. Es relativa a la de Euler $\phi$ función porque $$\frac{\phi(n)}{n}=\sum\limits_{d \mid n}\frac{\mu(d)}{d} \tag{1}$$ Ahora, si $n=\prod\limits_{p\leq X}p$ (aka primorial) , a continuación, $$\frac{\phi(n)}{n}=\prod\limits_{p\leq X}\left(1-\frac{1}{p}\right)$$ y $(1)$ se convierte en $$ \prod\limits_{p\leq X}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\sum\limits_{d \space \mid \prod\limits_{p\leq X}p}\frac{\mu(d)}{d} \tag{2}$$ Ahora, $\mu(d)$ es multiplicativo, lo que significa que si $d=h\cdot k$$\gcd(h,k)=1$$\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\mu(h\cdot k)}{h\cdot k}=\frac{\mu(h)\mu(k)}{h\cdot k}=\frac{\mu(h)\mu(k)}{h\cdot k}\gcd(h,k)$.
Sin embargo, si $d=h\cdot k$ $\gcd(h,k)=t>1$ $t^2 \mid d$ y a partir de la definición de $\mu(d)=0$.
En primer lugar, se establece la correspondencia de los términos en el lado izquierdo para que en el lado derecho.
Considerar sólo aquellas prime $\le X$ primero,
Este es sólo un ejemplo.
Caso 1: si { $p\mid \mid h_1$ $p\mid\mid k_1$ } $\implies$ $\frac{\mu(h_1)\mu(k_1)}{h_1\cdot k_1}(h_1,k_1) \rightarrow \frac{\mu(\frac{h_1}{p})\mu(\frac{k_1}{p})}{p \cdot \frac{h_1}{p} \cdot \frac{k_1}{p}}(h_1/p,k_1/p) $
Caso 2: si { $p\mid \mid h_2$ $p\nmid k_2$ }, $\implies$ $\frac{\mu(h_2)\mu(k_2)}{h_2\cdot k_2}(h_2,k_2) \rightarrow -\frac{\mu(\frac{h_2}{p})\mu(k_2)}{p\cdot \frac{h_2}{p} \cdot k}(h_2/p,k_2) $
Para los dos casos anteriores (de hecho,son tres de los casos, por simetría) , al $\frac{h_1}{p} = \frac{h_2}{p} $ también $\frac{k_1}{p} = k_2$
a continuación, contribuyen mismo valor pero de signo diferente, en general, contribuir $-\frac{\mu(\frac{h_2}{p})\mu(k_2)}{p\cdot \frac{h_2}{p} \cdot k_2}(h_2/p,k_2) $
Para aclarar, aviso de que, incluso para los par $(h,k)=(\frac{h_1}{p},\frac{k_1}{p})$, no contribuye $-\frac{\mu(\frac{h_1}{p})\mu(\frac{k_1}{p})}{p\cdot \frac{h_1}{p} \cdot \frac{k_1}{p}}(h_1/p,k_1/p) $, pero en lugar de $\frac{\mu(\frac{h_1}{p})\mu(\frac{k_1}{p})}{ \frac{h_1}{p} \cdot \frac{k_1}{p}}(h_1/p,k_1/p) $
La reducción de los términos más con este paso, llegamos $$\sum\limits_{d \space \mid \prod\limits_{p\leq X}p}\frac{\mu(d)}{d} \tag{2}$$ ya que podemos encontrar una correspondencia de términos en el lado izquierdo de la igualdad a la que, en $(2)$.
La prueba es la siguiente, para cada h,k,
reescrito en términos del primer factorización,
$h=\prod\limits_{p_i\leq X}\left(p_i^{\alpha (i) }\right)$
$k=\prod\limits_{p_i\leq X}\left(p_i^{\beta (i) }\right)$
donde $\alpha (i),\beta (i)$ son los elementos del conjunto,${ (0,1) }$.
Si $\alpha (i)=1,\beta (i)=1,0$, vamos a $g$ ser el número de todos los factores primos $h,k$ corporativamente tienen, y $p_{a_1},p_{a_2},...,p_{a_q}$ ser sus factores comunes. Y $g_2$ ser el número de todos los factores primos de a $h,k$ contando multiplicidad.
Términos en el lado izquierdo se reduce a $(-1)^{g_2-2q} \cdot \frac{1}{p_{a_1}p_{a_2}...p_{a_g}} $
Este nuevo término es aportado por todos los $(h,k)$ compartir en total, los factores de $p_{a_1},p_{a_2},...,p_{a_q}$.
Dado que sólo los signos de este tipo de ellas difieren la una de la otra, tenemos que considerar la posibilidad de firmar solamente.
Ahora considere el $(1+(-1)+(-1))^g$, en la generación de esta función, los dos $(-1)$ indica los casos que un primer factor de $p_i$ sólo está presente en cualquiera de las $h$ o $k$,
el (+1) en la generación de la función se refiere al caso de un primer factor de $p_i$ presentes tanto en las $h$$k$.
Es fácil saber que hay $3^{g}$ tal par de $(h,k)$.
Para repetir lo que se dijo anteriormente, el signo depende de $(-1)^{g_2-q}$, o, simplemente,$(g_2-q)$, esta cantidad es también el número de números primos presentes tanto en la $h$, $k$.
Cada término se originó a partir de la generación de la función en una correspondencia uno a uno a $(h,k)$ par, dicen por $(h,k)=(p_{a_1}\cdot p_{a_2}\cdot ...\cdot p_{a_q} \cdot (r_1 $número de distintos números primos)$,p_{a_1}\cdot p_{a_2}\cdot ...\cdot p_{a_q} \cdot(r_2 $número de distintos números primos)),
esto se refiere a $\underbrace{[(-1)\cdot (-1)\cdots (-1)}_{r_1\text{ times}}]\underbrace{[(-1)\cdot (-1)\cdots (-1)}_{r_2\text{ times}}]\underbrace{[(+1)\cdot (+1)\cdots (+1)}_{q\text{ times}}]$,
por lo tanto la generación de la función de dar valores de $(-1)^{g}$ para este grupo de pares, teniendo en total $p_{a_1},p_{a_2},...,p_{a_q},(r_1+r_2 $números de distintos factores primos).
Cabe señalar que $g=q+r_1+r_2$. También, $g_2=g+q=2q+r_1+r_2$.
Con las anteriores eliminatorias, sabemos que el lado izquierdo de la igualdad es sólo $\sum\limits_{d \space \mid \prod\limits_{p\leq X}p}\frac{\mu(d)}{d} \tag{2}$.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
