Deje $S$ ser un conjunto convexo cerrado & $x$ ser un extremo pt de $S$ $S-\{x\}$ es

Question

Deje $S$ ser un conjunto convexo cerrado y $x$ ser un punto extremo de $S$, $S-\{x\}$ es

1. Convexo
2. No Convexo
3. Puede o no puede ser convexa

Estoy pensando que la convexidad no falla, incluso si quitamos los puntos extremos. Es sólo mi intuición de finito de espacios dimensionales. ¿Qué acerca de la respuesta? Hay algo diferente si el espacio es infinito dimensional? Por favor me ayude.

Gracias.

Answer 1

Si $a$ es un punto extremo de $S$, $a=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2$ algunos $x_1,x_2\in S$ implica $x_1=x_2=a$. (I. e., $a$ no se puede escribir como combinación convexa de los puntos de $S\setminus\{a\}$.)

Esto significa que $S\setminus\{a\}$ es convexa. Si usted toma cualquiera de los dos puntos $x_1,x_2\in S\setminus\{a\}$ y hacer una combinación convexa $x=\alpha x_1+(1-\alpha)x_2$, $x\in S$ (ya que el conjunto de $S$ es convexa) y $x\ne a$ (debido a la condición en la definición de punto extremo).

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De hecho, estas condiciones son equivalentes. (Lo cual no es demasiado difícil de demostrar.)

Aquí está una cita de Conway reservar Un Curso en el Análisis Funcional, p.142

La proposición 7.3. Si $K$ es como subconjunto convexo de un espacio vectorial $X$$a\in K$, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• $a$ es un punto extremo de $K$
• Si $x_1,x_2\in X$$a=\frac12(x_1+x_2)$, entonces cualquiera de las $x_1\notin K$ o $x_2\notin K$ o $x_1=x_2=a$.
• Si $x_1,x_2\in X$, $0<t<1$, y $a=tx_1+(1-t)x_2$, entonces cualquiera de las $x_1\notin K$ o $x_2\notin K$ o $x_1=x_2=a$.
• Si $x_1,\dots,x_n\in K$ $a$ se encuentra en el casco convexo de $\{x_1,\dots,x_n\}$, $a=x_k$ algunos $k$.
• $K\setminus\{a\}$ es un conjunto convexo.

La prueba de esta proposición se omite en este libro. (Se deja como ejercicio.)