Dejemos que $(M,g)$ sea una variedad riemanniana y sea $I = Iso(M)$ sea el grupo de isometrías de $M$ . Supongamos que $I$ no tiene subgrupos. ¿Qué nos dice esto sobre $M$ ?
Respuesta
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Aquí hay algunos detalles para mis comentarios.
Reclamación. Supongamos que $M$ es una variedad lisa de dimensión $\ge 2$ . Entonces admite una métrica riemanniana sin simetrías.
Supongamos que $M$ tiene dimensión $\ge 3$ . Entonces se demuestra en
J. Kazdan, F. Warner, "Scalar curvature and conformal deformation of Riemannian structure", J. Differential Geometry 10 (1975), 113-134
que cada $C^\infty$ -función $K: M\to {\mathbb R}$ que es negativo en algún punto, es igual a la curvatura escalar de un $C^\infty$ -Métrica riemanniana en $M$ . Dado que las isometrías de una variedad tienen que preservar la curvatura escalar, podemos simplemente tomar una función suave "aleatoria" $K$ en $M$ : No tendrá simetrías y, por lo tanto, la métrica riemanniana correspondiente tampoco tendrá simetrías.
Para las variedades bidimensionales hay más restricciones en la curvatura escalar/gaussiana. Sin embargo, se pueden utilizar los resultados de
J. Kazdan, F. Warner, "Curvature functions for open 2-manifolds", Ann. of Math. (2) 99 (1974), 203-219
y
J. Kazdan, F. Warner, "Curvature functions for compact 2-manifolds", Ann. of Math. (2) 99 (1974), 14-47.
para llegar a la misma conclusión.
En el caso unidimensional (estoy suponiendo que el colector es conectado), si el colector riemanniano es compacto, entonces es isométrico a un círculo de cierto radio y, por tanto, tiene un grupo de simetrías unidimensional. Para las variedades no compactas, se puede tomar la métrica isométrica a la semilínea; dicha métrica no tiene simetrías.
