Del capítulo VII del Álgebra de Lang.
La pregunta es si $n\geq 6$ y $n$ es divisible por al menos dos primos, demuestre que $1-\zeta$ es una unidad en el anillo $\mathbb{Z}[\zeta]$
Me cuesta entender por qué esto es cierto. Esto está en el capítulo de la dependencia integral, pero eso no me ha dado ninguna inspiración. También he intentado usar el polinomio ciclotónico sin éxito
Gracias por cualquier indicación.
El consejo de Hurkyl en los comentarios es sensato.
He aquí una forma más teórica de pensar en ello; nunca he leído el libro de Lang, así que no sé hasta qué punto encaja con el material del capítulo (pero es es un argumento estándar en la teoría de números):
Escriba $n = p^k m$ con $p \not\mid m$ . Nota $(1-\zeta)^{p^k} \equiv 1 - \zeta^{p^k} \bmod p.$
Ahora $\zeta^{p^k}$ es una primitiva $m$ raíz de $1$ , donde $p \not \mid m$ .
Suponiendo que $m \neq 1$ , ¿puede usar esto para demostrar que $1 - \zeta^{p^k}$ es una unidad mod $p$ ? Y por lo tanto que $1 - \zeta$ es una unidad mod $p$ ?
Ahora encuentra otro primo $q$ para que $1 - \zeta$ es también una unidad mod $q$ .
Una vez que hayas hecho esto, habrás terminado. ¿Ves por qué?
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