Tomar la derivada de la función $$\frac{d}{dx}\frac{e^x-1}{e^x+1}= \frac{d}{dx} \left(1- \frac{2}{e^x+1} \right) = \frac{2e^x}{(e^x+1)^2}$$
En $x=0$, esto es igual a $\frac{1}{2}$. Sin embargo, la expansión del denominador, siempre $|e^x|<1$,
$$\frac{d}{dx}\left((e^x-1)\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^ke^{kx} \right)= \frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^ke^{(k+1)x}-(-1)^ke^{kx} \right)$$ $$= \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)(-1)^ke^{(k+1)x}-k(-1)^ke^{kx}$$ En $x=0$, la derivada $$=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k$$ no está definido, sin embargo, el "dos más obvio valores" para es $0$ o $1$ ($(1-1)+(1-1)+\cdots$ o $1-(1-1)-(1-1)-\cdots$, pero, por supuesto, podría ser cualquier cosa, dependiendo de cómo se haga la suma, creo que esto fue demostrado por Riemann).
Ahora, si una integral de Fourier, $f(x)=\int_0^\infty A(\omega)\cos(\omega x)+B(\omega ) \sin(\omega t) d \omega$, no es continua en $x_0$, $f(x_0)$ se define como $$\frac{1}{2} \left( \lim_{x\rightarrow^+x_0}f(x) + \lim_{x\rightarrow^-x_0}f(x) \right)$$ por ejemplo $f(x)=\begin{cases} k & \text{ if } |x|<1 \\ 0 & \text{ otherwise } \end{casos}$ is assigned the value $\frac{0+k}{2}=\frac{k}{2}$ at $x=\pm 1$.
Parece evidente que existe un vínculo entre el hecho de que $e^0=1$ se encuentra en el límite de la divergencia de la suma geométrica y que los resultados similares se pueden obtener mediante las integrales de Fourier. Es allí, y si es así, ¿qué es?
