La equivalencia entre liso y topológica de los haces de fibras

Question

Todos los colectores en este post son de hausdorff y la segunda-contables.

Es cierto que dos liso haces de fibras con la misma fibra de base, colector y la estructura del grupo (que es una Mentira grupo $G$ de diffeomorphisms de la fibra) son equivalentes si y sólo si son equivalentes como continua el haz de fibras (por lo que la equivalencia sólo puede ser continua)? Si es cierto, me puedes dar una referencia?

Gracias.

Answer 1

Mientras la Mentira de los grupos son finito dimensionales, sí, esto es cierto. La clave es que usted puede hacer finito-dimensional aproximaciones a la clasificación de espacio $BG$: es decir, hay finito dimensionales suave colectores $B_iG$ con la inclusión de mapas de $B_iG \hookrightarrow B_{i+1}G$ de manera tal que, como espacios topológicos, $BG = \lim B_iG$. No tengo una buena referencia para este o un esbozo de la prueba. Para sus grupos favoritos, es obvio: $BO(n) = \text{Gr}(n,\infty) = \lim_k \text{Gr}(n,n+k)$, por ejemplo, o $BU(1) = \lim_k \Bbb{CP}^k$. El caso general, entonces, es la misma idea: encontrar una secuencia de espacios de $E_nG$ que $G$ actúa libremente en cuyo límite es contráctiles. Si recuerdo una referencia o una prueba de esto, voy a editar.

Ahora que tenemos esto: vamos a $M$ ser finito dimensionales suave colector. Dos $G$-paquetes de estar sin problemas equivalente es igual a decir que el buen mapas de $M \to BG$ son suavemente homotópica. (Para hacer sentido de esto, uno se hace una Hilbert colector de $BG$, en cuyo caso el primer párrafo no era necesario, como vamos a ver, o que suponga $M$ es compacto por lo que la imagen se encuentra en algunas $B_iG$.) La prueba de esto es esencialmente el mismo como la prueba de que el mismo es cierto de forma continua continua de los mapas.

Ahora estamos en un entorno en el cual podemos aplicar los diversos suave mapa de aproximación teoremas. Esta es la razón de que yo traté de hacer las cosas finito dimensionales; no sé cómo demostrar a la misma aproximación teoremas en el infinito-dimensional de ajuste, a pesar de que casi estamos, sin duda, cierto. De todos modos, vamos a ir.

En primer lugar, cualquier mapa continuo es homotópica a una suave mapa. Así que para cualquier continua vector paquete en la $M$, este debe ser isomorfo a un suave vector paquete. Siguiente, supongamos que tengo liso vector de paquetes de $f_i: M \to BG$. Supongo que son continuamente homotópica: es decir, no es un mapa continuo $f_t: M \times I \to BG$. Ahora (de nuevo, ya sea porque se puede restringir el codominio a un número finito-dimensional colector o porque usted está dispuesto a utilizar infinito-dimensional aproximación teoremas), sabemos que podemos aproximar esta por una suave mapa sin cambiar los valores en el límite, puesto que ya está suave. Así que esto significa que si el vector de paquetes $f_0$, $f_1$ están continuamente isomorfo, son sin problemas isomorfos.

Esto se convierte en false si desea permitir que la Mentira de grupo para convertirse en infinito-dimensional (por ejemplo, $\text{Diff}(M)$.) El más simple de los ejemplos que conozco son 4-colector de paquetes sobre el circulo que son topológicamente trivial, pero no sin problemas triviales. Pero debido a que $M$-paquetes sobre el círculo son en bijection con $\pi_0 \text{Homeo}(M)$ topológicamente o $\pi_0 \text{Diff}(M)$ sin problemas, solo necesitas un diffeomorphism continuamente isotópico a la identidad, pero no sin problemas. Se proporciona, por ejemplo, en Ruberman, "Una obstrucción para suavizar la isotopía en la dimensión 4".