No entiendo bien tranquilo algo aquí, por ejemplo si queremos encontrar la derivada de la función $\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(h)}{h} $ y si lo calculamos a partir de la función $ f(x) = 12 + 7x $ Obtenemos que la derivada de $f(x)$ es igual a $$\lim_{h \to 0} \frac{7h}{h}$$ Pero yo pensaba que no se puede dividir por cero (aquí cancelamos 0 sobre 0), me equivoco o $\displaystyle \frac{0}{0}$ ¿igual a 1?
Respuestas
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Tienes razón al decir que no podemos dividir por cero. Pero como estamos tomando un límite, no estamos dividiendo por cero.
Recuerda: a un límite sólo le importa lo que pasa cerca de el punto, no en el punto. Por tanto, si $h=0$ entonces $\frac{7h}{h}$ sería indefinido. Pero " $h$ va a $0$ "significa que está cerca de $0$ pero no igual a ella. Puesto que para cada $h\neq0$ , $\frac{7h}{h} = 7$ .
La idea básica aquí es que no queremos evaluar $\frac{7h}{h}$ en $0$ . Queremos acercarnos a ella. Y como $h$ se acerca cada vez más a $0$ , $\frac{7h}{h}$ se acerca cada vez más a $7$ (de hecho, está constantemente $7$ ), por lo que decimos que $\lim_{h \to 0}\frac{7h}{h} = 7$ ya que no nos importa lo que pase en $h=0$ sólo cerca de él.
SixthOfFour
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138
Le se define como :
Nosotros decimos $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=L$ si para todo $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que para todo $x$ si $0<|x-c|<\delta$ entonces $0<|f(x)-L|<\varepsilon$ .
En este caso, tenemos $c=0$ así que cuando $x=0$ la condición $$0<|x-c|$$ no se cumple.
Tenga en cuenta que $$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{7h}{h} \neq \frac{\lim_{h \rightarrow 0} 7h}{\lim_{h \rightarrow 0} h}$$ donde estaría el $\frac{0}{0}$ problema que menciona ya que tenemos $$\lim_{h \rightarrow 0} 7h=0=\lim_{h \rightarrow 0} h.$$
rawnd
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Si conoce el $\varepsilon-\delta$ definición de un límite, entonces se puede demostrar que si dos funciones $f$ y $g$ que satisfagan $f(x) = g(x)$ para todos $x \neq c$ en un intervalo abierto que contenga $c$ et $\lim_{x \to c}g(x)$ existe, entonces $$\lim_{x \to c}g(x) = \lim_{x \to c}f(x)$$
Para probarlo (siéntase libre de saltarse esta parte si no le importa), llame a $\lim_{x \to c} g(x) = L$ y entonces, por definición, para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $f(x) = g(x)$ en los intervalos $(c - \delta, c)$ y $(c, c+\delta)$ y $$0 < |x - c| < \delta \implies |g(x) - L| < \varepsilon$$
Pero entonces porque $f(x) = g(x)$ para todos $x$ en el intervalo distinto de $x = c$ sabes que $$0 < |x - c| < \delta \implies |f(x) - L| < \varepsilon$$ por lo que se puede decir que $$\lim_{x \to c}f(x) = L$$
Esto está relacionado con su pregunta porque las funciones $f(x) = \frac{7h}{h}$ y $g(x) = 7$ sólo difieren en $h = 0$ lo que combinado con el teorema anterior muestra que: $$\lim_{h \to 0}7=7 \implies \lim_{h \to 0} \frac{7h}{h} = 7$$
En general, este teorema es lo que justifica poder anular variables en un límite.
Michael Hardy
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El límite $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ siempre implica $0/0$ . No se puede dividir $0$ por $0$ pero eso no significa que el límite no exista.
Los derivados son tipos de cambio instantáneos. Si un coche va $60$ millas en $2$ horas, su velocidad media durante ese tiempo es $\dfrac{60\cdot\text{mile}}{2\cdot\text{hour}}$ . Por lo tanto, su velocidad en un instante determinado puede parecer $\dfrac{0\cdot\text{mile}}{0\cdot\text{hour}}$ . Las derivadas te indican la velocidad en un instante, por lo que siempre implican $0/0$ de esa manera.
Usuario no registrado
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El sentido de la operación límite es que evita cualquier mal comportamiento de una función alrededor del punto dado. No nos importa cuál sea el valor de la función, ni siquiera si está definida en un punto dado.
En su caso, siempre que $h \ne 0$ podemos cancelar para encontrar que $\frac {7h}{h} = 7$ ; no importa que $\frac{7h}{h}$ no está definido en $0$ .
