¿Cómo puedo encontrar a $\lim_{x \to 0}\left(\frac{e^{2\sin x}-1}{x}\right)$ sin de l'Hospital de la Regla?

Question

¿Cómo puedo evaluar $$\lim_{x \to 0}\left(\frac{e^{2\sin x}-1}{x}\right)$$

Sé que es la forma indeterminada, debido a que el numerador y el denominador tanto se aproxima a 0, pero no los puedo usar la regla de l'Hospital, así que no estoy seguro de cómo ir sobre la búsqueda de el límite.

Answer 1

Sugerencia: Considere la función $f(x)=e^{2\sin x}$. ¿Cuál es la derivada de dicha función en $x=0$?

Answer 2

SUGERENCIA: $\lim_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=1$. Por lo tanto $$ \lim_{x\to0}\frac{e^{2\sin x}-1}{x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{2\sin x}-1}{2\sin x}\cdot\frac{2\sin x}{x} $$ y el resto debe ser fácil.

Answer 3

$$ \underbrace{f'(0) = \lim_{h\to0} \frac{f(0+h)-f(0)} h}_{\text{definición de `derivados"}} = \lim_{h\to0}\frac{e^{2\sin h} - e^{2\sen 0}} h = \lim_{h\to0}\frac{e^{2\sin h} - 1} h. $$ Tan sólo tienes que encontrar a $f'(0)$ por los métodos que normalmente se utiliza para calcular una derivada.

Answer 4

Una definición de la derivada es en $x=a$ es $$f'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ Now plug in $a=0,f(x)=e^{2\sin x}$ y tendrás tu respuesta.

Answer 5

Cuando se le da una tarea que incluye el texto "no está permitido el uso de así-y-así que la Regla", aún puede utilizar la prueba de que la regla en su respuesta.

Así que, mira la prueba de L'H en su libro de texto o en la Wikipedia, poner en su función de donde apropiados. Ignorar todo lo que no es relevante para el caso.

Al final va a tener su respuesta, así como una mejor comprensión de la norma.