Demostrar que $D_r \circ D_s = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ |x-y|<r+s \}$ donde $D_a = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2\ | \ |x-y| < a \}$

Question

Supongamos $r$ $s$ son dos números reales positivos. Deje $D_r = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2\ | \ |x-y| < r \}$$D_s = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ |x-y| < s \}$. Demostrar que $D_r \circ D_s = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ |x-y|<r+s \}$. Bueno, yo sólo demostró que $D_r \circ D_s \subseteq \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ |x-y|<r+s \}$ dejando $(x,y)$ ser un elemento arbitrario de $D_r \circ D_s$ y utilizando la desigualdad de triángulo. Cómo puedo probar que $\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \ | \ |x-y|<r+s \} \subseteq D_r \circ D_s$?

Answer 1

Deje $(x,y) \in D_{r+s}$. Vamos

$$z = \frac{r}{r+s}x + \frac{s}{r+s}y.$$

Entonces

$$\begin{align} \lvert z - x\rvert &= \left\lvert\frac{s}{r+s}y + \left(\frac{r}{r+s}-1\right)x \right\rvert = \frac{s}{r+s}\lvert y-x\rvert < s\\ \lvert z - y\rvert &=\left\lvert \frac{r}{r+s}x + \left( \frac{s}{r+s}-1\right)y\right\rvert = \frac{r}{r+s}\lvert x-y\rvert < r \end{align}$$

Por lo $(x,z) \in D_s$$(z,y) \in D_r$, por lo tanto $(x,y) \in D_r \circ D_s$.