Si $ax^2+bx+c=0$ tiene soluciones distintas de la $2$ $(0,1)$ luego probar $a\geq 5$.

Question

Decir $a,b,c$ son enteros, $a>0$. Supongamos $ax^2+bx+c=0$ $2$ soluciones diferentes en $(0,1)$, a continuación, probar $a\geq 5$. Encontrar un ejemplo para $a=5$.

Estoy luchando con esto por algún tiempo, sin éxito.

Trato de Vieta la fórmula de $0<x_1+x_2 = -{b\over a}<2$$x_1x_2 ={c\over a}<1$$c<a$$0<-b<2a$.

Answer 1

Deje $z=-b$. Sabemos que el mínimo va a ser a $(\frac{z}{2a},c-\frac{z^2}{4a})$. (Para la prueba de enchufe $\frac{z}{2a}$, el extremo, en $ax^2-zx+c$). Debemos encontrar los valores de $a,b,c$ tal que $a>c>0,z>0,a+c>z,c-\frac{z^2}{4a}<0$. La reescritura del pasado, obtenemos $z^2>4ac$. Sin embargo, debido a que todo está en los números enteros podemos cambiar $A>B$$A\geq B+1$. Llegamos $a>c\geq 1,z\geq 1,a+c\geq z+1,z^2\geq 4ac+1$. Deje $w=z+1$, y vemos que $c\geq 1,a+c\geq w,\frac{z^2-1}{4}=\frac{(z+1)(z-1)}{4}=\frac{w^2-2w}{4}\geq ac$.

Vemos que estos constituyen los límites de la región de soluciones en el $a$-$c$ plano. Con el fin de tener un no-vacío conjunto de soluciones, la intersección de a $a+c\geq w$ $\frac{w^2-2w}{4}\geq ac$ debe estar por encima de la línea de $c=1$. Hacemos lo siguiente:

$$ a=-c+w=\frac{w^2-2w}{4c}\\ -c^2+wc-\frac{w^2-2w}{4}=0\\ c=\frac{-w \mp \sqrt{w^2-4(-1)(-\frac{w^2-2w}{4})}}{-2}=\frac{w \pm \sqrt{w^2-(w^2-2w)}}{2}=\frac{w \pm \sqrt{2}}{2}. $$ Debido a que las ecuaciones originales eran simétricas en $a$$c$, sabemos que van a compartir estas raíces. Como $a>c$, $a$ tendrá la $+$ $c$ va a tomar la $-$, lo $c=\frac{w-\sqrt{2w}}{2}$. Esto significa que $c=\frac{w-\sqrt{2w}}{2}\geq 1$, que ahora se simplifica. $$ \frac{w-\sqrt{2}}{2}=1\\ w-\sqrt{2}=2\\ w-2=\sqrt{2}\\ z-1=\sqrt{2z+2}\\ (z-1)^2=z^2-2z+1=2z+2\\ z^2-4z-1=0\\ z\geq \frac{4+\sqrt{4^2-4*(-1)*1}}{2}=2+\sqrt{4-(-1)}=2+\sqrt{5}\approx 4.236\\ z\geq 5 $$ Al $z=5$ (o $b=-5$) y $c=1$,$a=5$. Si usted incremento en z, c crece tan lentamente que una se ve obligado a crecer más rápido con el fin de cumplir con z. Esto significa $a$ nunca inferior a $5$, y sólo es $5$ al$b=-5$$c=1$.