Sobre un problema de Cauchy y el intervalo máximo en el que se define la solución.

Question

El problema en cuestión es $y' = (y^2-1) xe^x$ donde la condición inicial es $y(1) = 2$ . También se me pide que demuestre que el sumo del intervalo máximo en el que se define la solución es menor que el infinito.

Mi intento de solución :

Reconozco que es una ecuación diferencial en la que puedo separar las variables Sé que la función $y$ que es una solución a mi problema de Cauchy se puede encontrar resolviendo

$$\int_2^y \frac{1}{t^2 - 1} dt = \int_1^x s e^s ds \implies 1/2 ( -\ln|y -1| + \ln |y+1| - \ln |3|) = xe^x - e^x$$

que da

$$\ln \sqrt{\frac{|y+1|}{3|y-1|}} = xe^x - e^x \implies \frac{|y+1|}{3|y-1|} = e^{2xe^x - 2e^x}$$

en este punto creo que puedo renunciar a los valores absolutos ya que sé que Mi solución debe estar definida en un intervalo que incluya en el rango de la solución el número $2$ .

Entonces tengo $$y = \frac{-1 - 3e^{2xe^x - 2e^x}}{1 -3e^{2xe^x - 2e^x}}$$

lo que parece implicar que el denominador debe ser negativo y obviamente no cero, por lo que obtengo

$$- \ln(3) \le 2xe^x - 2e^x$$ esto es cierto para $x > M$ donde $M$ es un número suficientemente grande pero esto contradice la segunda pregunta porque el intervalo en el que $y$ se define sería tan grande como se quiera hacia $+ \infty$ .

Si se me permite, pregunto amablemente dónde están mis errores y cómo podrían solucionarse.

Answer 1

Su análisis es correcto, aparte de que ha cometido un pequeño error de signo en el cálculo del $y$ -integral. Para $y>2$ , se obtiene \begin{equation} \int_2^y \frac{1}{t^2-1}\,\text{d}t = \frac{1}{2}\left(\text{ln} |y-1| - \text{ln} |y+1| + \text{ln} \,3\right). \end{equation} Creo que, con esta información, no tendrás problemas para encontrar el intervalo máximo de esta solución.