Complejización de un Álgebra real

Question

Deje $\mathbb R$ a ser el campo de los números reales y $\mathbb C$ a ser el campo de los números complejos. Considere la posibilidad de la complejización de la real álgebra matricial $M_n(\mathbb R)$$\mathbb C\otimes_{\mathbb R}M_n(\mathbb R)$. Se sabe que $$\mathbb C\otimes_{\mathbb R}M_n(\mathbb R)\cong M_n(\mathbb C).$$

¿Qué es un ejemplo de un isomorfismo de $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}M_n(\mathbb R)$ $M_n(\mathbb C)?$

Answer 1

Deje $e_{jk}$ denotar la "unidad de la matriz", que es cero en todas partes excepto en el $j,k$ entrada, donde se tiene un 1.

Mapa de cada elemento base de la forma $x\otimes e_{jk}$ donde$ x\in\{1,i\}$$1\leq j,k\leq n $$xe_{j,k}\in M_n(\mathbb{C})$. Esto produce una $\mathbb{R}$ álgebra isomorfismo.

Si quieres un $\mathbb{C}$ álgebra isomorfismo, se puede comprobar que el mismo mapa es una $\mathbb{C}$ álgebra isomorfismo, sino los elementos de la $\mathbb{C}\otimes M_n(\mathbb{R})$ dejaría de ser linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$. Larga historia corta, el mapa sería:

$$ (\alpha+\beta)\otimes M\rightarrow (\alpha+\beta)M $$

Answer 2

Un poco más abstracto, aunque sin tener que lidiar con las bases:

Vamos $A:=M_n(\mathbb{R})$, $A_\mathbb{C}=A\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}$ su complejización y $B:=M_n(\mathbb{C})$. Tenemos un canónica de la incrustación de $\iota:A\hookrightarrow B$ de real álgebras, que identifica los ascensores a través de un morfismos $\iota_\mathbb{C}:A_\mathbb{C}\to B$ $\mathbb{C}$- álgebras, por la característica universal de $A_\mathbb{C}$, es decir, tenemos $\iota_\mathbb{C}\circ\alpha=\iota$ donde $\alpha$ es la canónica mapa de $A\ni a\mapsto a\otimes 1\in A_\mathbb{C}$. Ahora desde $\iota_\mathbb{C}(A_\mathbb{C})$ $\mathbb{C}$- subalgebra de $B$ contiene $\iota(A)$, $\iota_\mathbb{C}$ debe ser surjective y por lo tanto es el deseado isomorfismo, contando dimensiones.

Saludos, Robert